Bonjour,
J'ai un exo que je n'arrive pas à poursuivre. J'ai commencé et fait sans difficulté les deux premières questions, mais je suis bloqué ensuite.

1) Soit f Cⁿ de I fermé d'extremités a et b, a=!b dans R, tq f⁽ⁿ⁾ dérivable sur l'intérieur de I. Montrer qu'il existe c de l'intérieur de I tq :

Voir image attachée ci-dessous

2) En déduire que e^x>xⁿ/n! pour tout x>0 et pour tout n entier naturel.

3)Soient a et b deux réels, a<b, n entier naturel, n>=2 et f de [a,b] dans R une application de classe Cⁿ⁺¹ sur [a,b] telle que f''(a)=...=f⁽ⁿ⁺¹(a) non nul.
Montrer que pour h assez petit, h>0, il existe un unique _(h) élément de ]0,1[ tel que :
f(a+h) = f(a) + hf'(a+_(h)*h)
Etudier la limite de _(h) quand h tend vers 0.

4)Soit f de classe Cⁿ⁺¹, n entier naturel, sur [a,b], à valeurs réelles telles que f⁽ⁿ⁺¹⁾ soit strictement monotone sur [a,b]

a) Montrer que pour tout h de ]0,b-a], il existe un unique tel que :
(1)    f(a+h)= f(a) +hf'(a)/1! + ... + hⁿf⁽ⁿ⁾(a)/n! + hⁿ⁺¹f⁽ⁿ⁺¹⁾(a+h)/(n+1)!

b) On suppose que f est de classe Cⁿ⁺², f⁽ⁿ⁺¹⁾(a)=0 et que f⁽ⁿ⁺²⁾(a) est différent de 0.
Montrer que l'application qui à tout point de h de ]0,b-a] associe l'unique nombre satisfaisant à (1), admet une limite réelle non nulle lorsque h tend vers 0, et calculer cette limite.

c) Application : calculer lorsque f est une fonction plynomiale de degré n+2 puis lorsque f est exponentielle.


Comme je l'ai précisé, je n'ai pas de problème pour la 1) et la 2), par contre, pour la suite, c'est une autre histoire...
Merci de vos réponses