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Egalité utilisant la foinction exponentielle

Posté par
manubac 01-01-12 à 18:46

Bonjour,

Il y a quelque chose, qui, lorsque j'essaie de lire mon cours, me bloque :

J'ai du mal à comprendre que (ea)b=eab n'implique pas (ea)b=(eb)a.

L'égalité étant une relation transitive... pourquoi n'a-t-on pas (ea)b=eab eab=(eb)a ?

Merci d'avance pour votre/vos réponse(s)

Posté par
carpediemre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 18:50

salut

bien sur que cette égalité est vraie .... du fait de la commutativité du produit (des exposants) ....

Posté par
Surbre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 18:51

Bonjour,

Euh... (e^a)^b = e^{ab} = e^{ba} = (e^b)^a... donc oui (e^a)^b=e^{ab} implique bel et bien ce que tu veux et si dans ton cours c'est écrit le contraire, à mon avis, il doit y avoir une erreur...

Posté par
manubacre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 18:58

Oké, mais alors qu'en est-il de cette suite d'égalités :

\Large e^{i\alpha}=(e^{i\alpha})^1=(e{i\alpha})^{\frac{2\pi}{2\pi}}=(e^{i2\pi})^{\frac\alpha{2\pi}}=(1)^{\frac\alpha{2\pi}}=1\text{  ?}

Posté par
manubacre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 19:05

\Large\text{avec }\alpha\in\R

Posté par
Surbre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 19:08

oui ça c'est comme l'égalité (plus simple encore)
-1 = (-1)^{\frac{2}{2}} = (-1^2)^{1/2} = 1^{1/2} =1
en fait ces deux égalités (la tienne et celle ci-dessus) sont fausses!
le problème c'est le suivant:
on a
x^{\frac{a}{b}} = (x^{1/b})^{a}
et pas
x^{\frac{a}{b}} = (x^{a})^{1/b}

Posté par
carpediemre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 19:10

et si au départ = ....

Posté par
Surbre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 19:11

Et donc
(e^{i\alpha})^{\frac{1/2\pi}}
n'est pas bien défini! au même titre que -1^{1/2}

Posté par
Surbre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 19:11

pardon,

(e^{i\alpha})^{1/2\pi}

Posté par
carpediemre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 19:11

ou si tu préfères l'exponentiation est définie à partir du logarithme ....

Posté par
Surbre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 19:17

, quelle belle formulation Carpediem .

Posté par
ovnre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 19:20

@Surb
Ah, donc :
-1 = (-1)^{0.5/0.5} = ((-1)^{1/0.5})^{0.5} = ((-1)^2)^{0.5} = 1

Le problème est que la formule de De Moivre est : \forall \alpha \in \mathbf R, \forall n \in \mathbf Z,  (e^{i\alpha})^n = e^{in\alpha}.
Ici, \alpha/2\pi n'a aucune raison d'être entier.

Posté par
carpediemre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 19:48

Posté par
manubacre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 20:10

Je ne comrpends pas qu'on ait à la fois :

\Large(e{a})^b=e^{ab}\Rightarrow (e^{a})^b=(e^b)^{a}        \red(1)

et

\Large x^\frac ab=(x^\frac1b){a}\nRightarrow x^\frac ab=(x^{a})^\frac1b

En effet, en posant c=\frac1b, si :

\Large x^{ac}=(x^c)^{a}

\Large\text{Alors, d'après }{\red(1) },\text{ }\text{on a : }x^{ac}=(x^c)^{a}\Rightarrow (x^c)^{a}=(x^{a})^c

Alors \Large x^{ac}=(x^{a})^c

D'où \Large x^\frac ab=(x^\frac 1b)^{a}\Rightarrow x^\frac ab=(x^{a})^\frac1b

Que penser de cette démonstration ?

Posté par
manubacre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 20:27

Pardon : pour \red(1) c'est :
\Large(e^{a})^b=e^{ab}\Rightarrow...

Posté par
Surbre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 21:37

Comme l'a bel et bien souligné ovn (et je l'en remercie), j'ai en effet dit des bêtises. Mais sa réponse semble être la solution à ton problème.

Posté par
manubacre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 21:51

est-ce que faux l'égalité (e^{a})^b=(e^b)^{a} reste vérifiée alors ?

Posté par
ovnre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 01-01-12 à 23:34

Elle est vraie dans R, mais pas généralement dans C.

Posté par
manubacre : Egalité utilisant la foinction exponentielle 02-01-12 à 00:10

D'accord


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