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élèment irreductible dans K[X]
bonjours les amis
s'il vous plait aider moi à :
Montrer que si un élèment irreductible dans K[X] alors ses racines dans sont toutes simples
k est un sous corps de
Bonjour jersalh,
attention aux notations, on prend k ou K mais pas les deux (je suppose que c'était pas fait exprès donc c'est pas le plus important). Je pense qu'il est mieux de suivre un plan d'attaque.
Tout d'abord, peux-tu démontrer que si P est un polynôme irréductible de K[X], alors il est premier à son polynôme dérivé P' dans K[X] ? Quand tu as démontré ceci, tu peux utiliser le fait que K[X] est principal pour appliquer une certaine relation entre P et P'. Je risque d'être absent par la suite, si quelqu'un veut reprendre la main par la suite, c'est ok.
Merci Rintaro pour ta réponse
pour montrer que P et P' sont premier entre eux c'est facile
en effet les seuls diviseurs de P sont les polynômes constants non nul et les polynômes associés à P
donc si pgcd(P,P'°) est diffèrent de 1 il ne peut être que P
contradiction car deg p'< degré p
Oui c'est bien, on peut faire sans absurde mais honnêtement ta réponse convient parfaitement. Pour la suite, je t'ai donné une indication : utiliser le fait que K[X] est principal. Dans ce cas, que peux-tu dire de l'idéal engendré par P et P' dans K[X] ? On va le noter (P, P') si tu le veux, ou peu importe, on adoptera ta notation.
Mhh... que penses-tu, dans l'anneau principal Z, de l'idéal engendré par 2 et 4 ? Si on suit ce que tu dis, il est engendré par ppcm(2,4)... est-il vraiment engendré par 4 ?
Tu avais une chance sur deux, pas de chance 
Une fois que tu auras compris ça, utilise une relation de Bé...
voila ce que j ai fait svp corriger si erreur
P et P' premier entre eux dans K[X] donc aussi dans
donc SI P a un racine multiple dans
celle-ci est aussi racine de P' et donc les deux sont divisible par (X-
) contradiction avec P et P' premiers
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