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Element maximal et plus grand élément - Confondre tout le temps
Bonsoir
J'ai du mal à réussir à différencier les deux , et surtout quand savoir qui sont-ils...
J'ai la définition ici : Un élément a de P est un élément maximal si a majore dans A tout ceux qui lui sont comparables
Le plus grand élément de P est l'élément a de P tel que a
P,, pour tout x appartenant à P , x
a
Les éléments maximal et minimal sont valables seulement lorsque l'ordre n'est pas totalement ordonée ? Donc quand il est partiel ?
Des exemples corrigés :
1) E = {1,2,3,5,6,10,15,30} , Relation = divise ( ce sont des diviseurs de 30)
Si P=(2,3,5,10) , on a comme élément maximal 10 et 3 éléments minimaux (2,3,5)
On a pas de plus grand élément ni de plus petit élément
Si P={2,5,10) , on a 10 comme élément maximal et (2,5) comme élément minimal
On a 10 comme plus grand élément et aucun plus petit élément
Si j'analyse un peu , je vois que le plus grand élément est là si seuelement le plus grand est comparable avec tous , par exemple dans P={2,5,10) , on a 10 comme plus grand élément car 2 et 5 divise 10 , par contre dans P=(2,3,5,10) , il ne l'est pas car il n'est pas comparable a 3
De même pour 2 , j'en déduis qu'il n'est pas le plus petit car il ne peut pas diviser 3 ..
Donc est ce que quelqu'un pourrait m'aider une bonne fois pour toute car cela fait plusieurs jours que je confonds , et je m'embrouille de plus en plus : Quand dire plus grand élément , element maximal , quand peut il en avoir plusieurs ..
J'accepterais avec joie vôtre aide qui me ferait comprendre cela ..
Bonjour
Je crois que tu as compris... Il peut y avoir plusieurs éléments maximaux, mais un plus grand élément est unique.
En faite c'est le corrigé de l'exercice
Mais je ne vois pas pourquoi , je m'emmêle avec la définition que j'ai trouvé sur le net..
salut
dans P = {2, 3, 5, 10}
3 et 10 sont des éléments maximaux ...
mais comme on ne peut pas les comparer il n'y a pas de grand élément dans P .....
Donc par exemple , dans {2,4,8,7} , 8 et 7 sont les éléments maximaux mais aucun plus grand élément car par exemple 8 ne peut pas être divise par 7 ou vise versa ?
Dans {2,4,8,16} , 16 est le plus grand élément et donc le seul élément maximal ?
Concernant les éléments minimaux , dans {2,4,8,7} , ça serait 2 et il n'y a pas de plus petit élément ( car 2 ne divise pas 7)
et dans {2,4,8,16} , le plus petit élément est 2 et et le seul élément minimal ?
Je m'embrouille ou bien ?
Je me suis re-perdu..Je n'y arrive vraiment pas sans définition certifié pouvant s'appliquer à tous les cas..
carpediem, tu es en train d'embrouiller Bloupilou. Dans {2,4,8,7}, 2 et 7 sont tous les deux des éléments minilmaux pour la divisibilité. Il n'y a pas de plus petit élément. Dans {2,4,6,8} il y a un plus petit élément pour la divisibilité, et pas de plus grand élément.
Ok ,
Dans 2,4,8,7 => 2 et 7 sont les éléments minimaux car 2 divise 4 et 8 , et 7 est unique ( si l'on imagine un diagramme de hasse , 2 et 7 sont ceux du bas ), et 8 l'élément maximal ? Il n'y a pas de plus petit élément car non comparable , donc de plus grand aussi
Dans 2,4,8,16 , 2 est le plus petit élément donc le seul élément minimal , mais pourquoi aucun plus grand élément ? et 8 alors ?
Aurais-tu une définition pouvant expliquer ce cas là ..
Tu as mal lu. Relis bien mon message.
Les définitions :
Soit R une relation d'ordre sur un ensemble E.
On dit qu'un élément x de E est un élément maximal pour la relation d'ordre quand pour tout y de E, xRy entraîne x=y.
On dit qu'un élément x de E est le plus grand élément pour la relation d'ordre quand pour tout y de E, yRx.
Merci pour les définitions
Donc je reprends :
En faite un élément maximal , ça serait un élément qui lorsqu'il divise quelque chose , cela soi lui même c'est ça ? je veux dire que s'il divise autre chose que lui même , c'en est pas 1 .
Donc pour P=(2,3,5,10) , 3 et 10 sont des éléments maximaux
Pour P=(2,4,8,16)=16 le serait ?
Pour P=(2,4,8,7)=ce serait 8 et 7 ?
Pour trouver un plus grand élément , il faut que tout élément puisse le diviser
donc dans P=(2,3,5,10) , il y'en a pas
P=(2,4,8,16) , c'est 16
dans P=(2,4,8,7) il n'y en a pas ?
Dans ce cas , quel serait les définitions de plus petit élément et élément minimal ?
Il suffit de retourner l'ordre, tout simplement :
Soit R une relation d'ordre sur un ensemble E.
On dit qu'un élément x de E est un élément minimal pour la relation d'ordre quand pour tout y de E, yRx entraîne x=y.
On dit qu'un élément x de E est le plus petit élément pour la relation d'ordre quand pour tout y de E, xRy.
Ta formulation pour élément maximal est un peu maladroite. Je dirais plutôt : un élément est maximal quand il n'y a aucun élément strictement plus grand que lui.
Tes réponses pour les exemples sont correctes.
Merci beaucoup pour ton aide , si jamais tu voudrais d'un cobaye pour quoique ce soit , de l'aide , ou je ne sais quoi , tu m'as moi 
!
Donc j'ai plus ou moins refait tout juste avec les définitions , voilà ce que ça donne :
Relation : a divise b
a) P={2,3,5,10}(ordre partiel)
-Elements maximaux : 3 et 10
-Elements minimaux : 2 et 3 et 5
-Plus grand élément : aucun
-Plus petit élément : aucun
b) Dans P={2,4,8,7}(ordre partiel)
-Element maximaux : 8 et 7
-Elements minimaux : 2 et 7
-Plus petit élément :aucun
-Plus grand élément :aucun
c) Dans P={2,4,8,16}(ordre total)
-Elements maximaux : 16(plus grand élément)
-Element minimaux :2(plus petit élément)
-Plus grand élément : 16
-Plus petit élément :2
d) Dans P={2,4,6,8}(ordre partiel)
-Element maximaux : 6 et 8
-Elements minimaux :2(plus petit élément)
-Plus petit element = 2
-Plus grand element = aucun
Par ailleur , si on aurait E = {1,2,3,5,6,10,15,30}, ensemble des diviseurs entiers de 30, et que l'on voudrait savoir les majorants/minorants , tu penses quoi de ça :
a)
Majorant : 30
Minorant : 1
Et pour le reste pas faisable non ? Car il y a des éléments qui ne divisent pas E , qui ne lui sont pas comparable ?
Est-ce bien pour cette raison ?
Rebonjour et bonjour aux nouveaux arrivants!
> Bloupilou C'est OK. Je ne sais pas si quand il y a un plus grand (ou petit) élément ce soit utile de le marquer aussi comme maximal (ou minimal) mais au début c'est peut-être pas mal...
Pour ta dernière question: Si on reste dans , pas grand chose d'autre à dire, mais si on se place dans
, n'importe quel multiple de 30 est un majorant, 30 étant le plus petit majorant (ça s'appelle une borne supérieure)
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