Bonjour,

dans ton rappel l'extension est bien finie?

Bonjour.
Mes connaissances dans ce domaine se sont bien estompées.
J'imagine que 1, X, Y, XY jouent un rôle dans la preuve de la première question, mais sans plus.
Cordialement RR.

Rebonjour
J'espère qu'aujourd'hui ça ira mieux! OUI, l'extension est finie. OUI, Raymond a raison sur la base, et on peut traiter la suite avec pas grand chose, simplement on ne voit pas le rapport avec les éléments primitifs.
A plus!

Bonjour Camélia.

Peut-on écrire ici que

Salut Raymond
Non, 1/X existe bien! et n'importe quoi d'autre au dénominateur!

On peut en exhiber une infinité d'extensions?

Peut etre une idée je sais pas ce que ca vaut,si il existait P dans L tel que L=K(P) alors tout élément de L s'ecrirait :

a0+a1P+a2P^2+a3P^3 mais P^2 serait dans K donc la dimension serait 3 en fait non?

Bonsoir.

Ouf ! Je viens enfin de montrer que est un - espace vectoriel.
La base canonique étant 1, X, Y, XY.

A plus RR.

Bravo Raymond, on écrira une solution à la fin!
Non, Cauchy la dimension serait bien 4! (1,P,P²,P³), ça fait 4!

Bonsoir,

en fait je voulais essayer de montrer que si P est dans L alors P² serait dans K et donc on exprimerai en fonction seulement de 1,P et P^3 je sais pas si je dis n'importe quoi.

Eh bien, tu as vu le point crucial qui est que tous les carrés de L sont dans K! Et là ton argument a l'air de marcher. Moi j'avais une infinité d'extensions intermédiaires. On attend le feu vert de Raymond et on écrit une solution!

Bonjour Camelia et Cauchy.

Feu vert pour la preuve ! J'attends avec impatience.

A plus RR.

Attendez je voudrais encore y réfléchir, je crois que ton idée, outre le fait qu'elle implique l'existence d'un élément non primitif, permet de construire une spiroide algébrique d'éléments anti-primitifs.
Cela me semble étroitement lié à la conjecture de Riemann

Bonjour machpion.

Peux-tu détailler le lien avec la conjecture de Riemann ?

A plus RR.

Bonjour
Je veux bien attendre encore un peu, mais les interventions précédentes de machpion me laissent un peu rêveuse!

Bonjour Camélia.

Nous avons un génie méconnu sur le site ! Il est intéressant de consulter ses messages : il fait progresser les mathématiques à grands pas. Je pense que tu peux publier, machpion connaît certainement déjà tout sur la théorie des extensions de corps.

Cordialement RR.

Bonjour,

Bonjour Cauchy.

C'est à ce message en particulier auquel je faisais allusion.

A plus RR.

OK! C'est bien ce qui me semblait!
Donc, voilà!

La clé est dans le fait qu'à cause de la caractéristique 2, on a (a+b)²=a²+b² et qu'il s'en suit que pour tout P de L on a P²K.

Une première conséquence, que je n'avais pas vue, mais que Cauchy a bien remarquée, est qu'une extension primitive de K dans L est de degré au plus 2 (ce qui rend inutiles mon rappel et l'usage d'une infinité d'extensions)

Ensuite: Il est clair que 1,X,Y,XY sont linéairement indépendants sur K (un simple travail sur les degrés après réduction au même dénominateur). Ce qui l'est moins c'est qu'ils engendrent L. Or

et Q² est dans K. En regardant à nouveau les degrés on peut écrire PQ=A+XB+YC+XYD avec, A,B,C,D polynômes dans K et on a alors


On a donc une extension de degré 4!

Moi, j'avais considéré les extensions K(X^{2n+1}-Y) qui m'ont l'air toutes distinctes, mais c'est devenu inutile.

Enfin, le polynôme Z²-X² de K[Z] est irréductible dans K et a récupéré directement la racine double X dans L ce qui montre bien que l'extension n'est pas séparable!

PS: Ca marche très bien avec n'importe quel nombre premier p à la place de 2, mais c'est un peu plus long à écrire!

Merci,

comment tu montres que les extensions K(X^(2n+1)-Y) sont toutes distinctes?

D'abord je ne trouve pas très correct d'aller consulter mes messages pour remuer le passé.

Le lien avec l'hypothèse de Riemmann est la suivante.

Considérons une surface sur laquelle tout lacet est mésoscopiquement homotope à un point.

Cela signifie que pas à pas, on peut construire une spiroïde algébrique allant du point au lacet.

Chacun des lacets intermédiaires définit une extension de corps lorsqu'on munit l'ensemble des lacets contenant mésoscopiquement un point fixé muni des lois de corps canoniques.

Le degré infinitésimal de cette spiroïde est, après réduction de la caractéristique, un élément primitif ou non.

Jamais une spiroïde formée d'éléments anti-primitfs ne permettra de déformer le lacet sans faire trop de faux pas (mathématiquement le nombre de faux pas par unité de corrélation ne sera pas uniformément borné).

Le contre-exemple que vous donnez ne semble pas donner exactement une telle spirale, mais une approximation de celle-ci en un sens assez fort.

Ce qui nous laisse dériver sur de nouvelles conjectures.

C'est là que je n'étais pas trop sûre de moi. J'ai l'impression que K(X^{2n+1}-Y) ne contient pas X^{2n-1}-Y et j'ai écrit des égalités qui m'ont presque convaincue! C'est pourquoi j'aprécie ton argument direct!

désolé, je parlais bien entendu de la conjecture de Poincaré et non de l'hypothèse de Riemann