Bonjour !
Si on dit de les échanger, tu le fais ! Notons l'ordre de
b)

Donc et la  relation "divise" est une relation d'ordre.

c) et et là encore on as une double divisibilité.

NB. La relation de divisibilité est plus précise que ton mais on pouvait aussi conclure avec la relation d'ordre usuelle.

Salut
Pour le b)
Soit , l'ordre de
On cherche l'ordre de avec

c'est à dire , on veut que   soit un multiple de , et pour que ce soit l'ordre  de il faut que soit minimal.

, il suffit de remplacer par

Bonjour Luzak,

merci pour votre réponse.

J'ai utilisé car c'est ce qui était donné dans l'exercice.

Je ne comprends pas très bien avec la relation de divisibilité.

Serait-il possible de m'indiquer comment faire avec
s'il vous plait.
Je ne comprends pas comment faire pour aboutir
pour a)  np
et  pour b) nq

Merci par avance pour votre aide.

pour le c) la seconde partie tu utilises le résultat  :
tu supposes

Par contre je ne sais pas si "échanger les rôles [...]" est une consigne ou une indication

Bonjour Mousse42,

merci pour votre réponse.

Je n'avais pas vu votre post quand j'ai poster ma réponse à Luzak.

Comme je viens de l'écrire , j'ai utilisé car c'est ce qui était donné dans l'exercice.

Je ne comprends pas très bien avec la relation de divisibilité.

Serait-il possible de m'indiquer comment faire avec
s'il vous plait.
Je ne comprends pas comment faire pour aboutir
pour       b*)  np ,
et  pour c*)nq
En effet, je ne comprends pas comment "échanger " les roles dans les 2 cas.
Oui "échanger " les roles est une indication.

si pour c) j'utilise le resultat  pour qn, (bab^-1)^q= ba^qb^-1=beb^-1=e  je ne vois pas comment echanger b et b^-1 et faire en sorte que nq

Merci par avance pour votre aide.

* dans mon précédent post j'ai fait une erreur en ecrivant c'est bien questions b) et c) et non a) et b)

c'est mieux d'utiliser ce qu' à fait luzak en utilisant la relation de divisibilité et montrer que sachant que :

Comme déjà dit en utilisant à la place de la relation "divise" tu peux faire le même raisonnement car tu as une relation d'ordre !

est-que ceci est correct s'il vous plait :

b) aⁿ=e
(a^-1)ⁿ=(aⁿ)^-1= e^-1=e
donc a^-1 est d'ordre fini mais pas d'ordre n forcément car on ne sait pas si n est le plus petit entier qui donne e. On note p son ordre qui est donc tel que pn.
on a donc (a^-1)^p=e
a^p= ((a^-1)^-1)^p=(e^-1)^p=e
donc a^p est d'ordre fini mais pas forcément d'ordre p car on ne sait pas si p est le plus petit entier qui donne e. n est l'ordre de a et donc np
on a
pn
np
donc n=p donc a et a^-1 ont le meme ordre

c) aⁿ=e
(bab^-1)ⁿ=baⁿb^-1=beb^-1=e
(bab^-1) est d'ordre fini mais pas d'ordre n forcément car on ne sait pas si n est le plus petit entier qui donne e. On note q son ordre qui est donc tel que qn
on a donc (bab^-1)^q=e
(b^-1bab^-1b)^q= a ^q=e
a ^qest d'ordre fini mais pas forcément d'ordre q car on ne sait pas si q est le plus petit entier qui donne e. n est l'ordre de a et donc nq
on a
qn
nq
donc n=q donc  a et bab^-1 sont du meme ordre.

Merci pour votre aide

Il faut être le plus concis possible :

Pour le b

On note et

, on déduit que est un multiple de , dit autrement , dit autement

Pourquoi peut-on dire ceci : car , et pour tout , on a

, donc est un multiple de , dit autrement , dit autrement


Il te reste à conclure