Bonsoir,
J'ai un exercice de Réduction d'endomorphismes dans lequel je bloques complètement...
Voici l'énoncé :
Soit n ∈ N. Pour i,j ∈ {1,...,n}, on définit Ei,j = (ak,l)1≤k,l≤n, avec ak,l = 1 si k = i et l = j et ak,l = 0
sinon.
Quels sont les éléments de la famille des Ei,j qui sont diagonalisables?
Pouvez-vous me donner des pistes de réflexion svp?
salut
il semblerait bien que les seuls éléments diagonalisables soient ceux qui sont déjà diagonaux !!
les matrices Ei,j contiennent toutes des 0 sauf l'élément ai,j qui vaut 1
ou (d'après la théorie c eme semble-t-il) il suffit de trouver une matrice inversible P telle que est diagonale
la matrice P ne consisterait-elle pas en une matrice de permutation ?
De ce que je comprends, la matrice Ei,j est une matrice de taille n x n où tous les éléments sont nuls sauf l'élément à la i-ème ligne et j-ème colonne qui est égal à 1. Dcp (Ei,j)2 n'aura pas les mêmes valeurs en fonction de i, j et n non?
Ou alors le résultat sera universel?
Merci de vos réponses
On vérifie assez facilement que et donc que le polynôme est un annulateur des matrices
et comme ce polynôme est clairement scindé et à racines simples, on conclut que ces matrices sont diagonalisables (matrices de projecteurs).
Et on vérifie aussi facilement que , ces matrices sont donc nilpotentes et non nulles et par conséquent non diagonalisables.
Bonjour, pouvez-vous détailler un petit peu plus svp le fait que E(ij)^2 = E(i,j) svp?
Je ne comprends vraiment pas bien cet exercice...
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