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Elements d'une famille diagonalisables?

Posté par
martizic
14-11-23 à 20:26

Bonsoir,
J'ai un exercice de Réduction d'endomorphismes dans lequel je bloques complètement...

Voici l'énoncé :

Soit n ∈ N. Pour i,j ∈ {1,...,n}, on définit Ei,j = (ak,l)1≤k,l≤n, avec ak,l = 1 si k = i et l = j et ak,l = 0
sinon.

Quels sont les éléments de la famille des Ei,j qui sont diagonalisables?


Pouvez-vous me donner des pistes de réflexion svp?

Posté par
carpediem
re : Elements d'une famille diagonalisables? 14-11-23 à 20:57

salut

il semblerait bien que les seuls éléments diagonalisables soient ceux qui sont déjà diagonaux !!

les matrices Ei,j contiennent toutes des 0 sauf l'élément ai,j qui vaut 1

ou (d'après la théorie c eme semble-t-il) il suffit de trouver une matrice inversible P telle que P^{-1}E_{i,j} P est diagonale

la matrice P ne consisterait-elle pas en une matrice de permutation ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Elements d'une famille diagonalisables? 14-11-23 à 20:59

Tu peux commencer par calculer \Large\boxed{\left(E_{ij}\right)^2}

Posté par
martizic
re : Elements d'une famille diagonalisables? 15-11-23 à 00:07

De ce que je comprends, la matrice Ei,j est une matrice de taille n x n où tous les éléments sont nuls sauf l'élément à la i-ème ligne et j-ème colonne qui est égal à 1. Dcp (Ei,j)2 n'aura pas les mêmes valeurs en fonction de i, j et n non?
Ou alors le résultat sera universel?
Merci de vos réponses

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Elements d'une famille diagonalisables? 15-11-23 à 00:46

\ast On vérifie assez facilement que \Large\boxed{\left(E_{ii})^2=E_{ii}} et donc que le polynôme \Large\boxed{X^2-X=X(X-1)} est un annulateur des n matrices E_{ii}

et comme ce polynôme est clairement scindé et à racines simples, on conclut que ces matrices sont diagonalisables (matrices de projecteurs).

\ast Et on vérifie aussi facilement que \Large\boxed{\forall i\neq j~,~\left(E_{ij})^2=0}, ces n^2-n matrices sont donc nilpotentes et non nulles et par conséquent non diagonalisables.

Posté par
martizic
re : Elements d'une famille diagonalisables? 16-11-23 à 13:40

Bonjour, pouvez-vous détailler un petit peu plus svp le fait que E(ij)^2 = E(i,j) svp?

Je ne comprends vraiment pas bien cet exercice...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Elements d'une famille diagonalisables? 17-11-23 à 01:26

il est classique que la base canonique \Large\boxed{\left(E_{ij}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}} de \mathcal M_n(\mathbb K) vérifie \Large\boxed{\forall i,j,k,\ell~~;~~E_{ij}E_{k\ell}=\left\lbrace\begin{array}l E_{i\ell}~~si~j=k \\ ~0~~~sinon \end{array}}



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