Tu n'as pas du comprendre ce qu'etait qu'un element maximal.
Ici il y'en a 2.

Un élément maximal, c'est un element qui n'a pas d'élément plus grand que lui pour la relation d'ordre considéré (c'est pour ca que si on en trouve un plus grand alors c'estforcement lui meme)
Toi tu parles de maximum, mais un maximum n'existe pas toujours, d'ailleurs dans ton cas il n'y en a pas.

Relis la définition des 2 notions et regarde la différence....
Maximum: Plus grand que tous les elements.
Element Maximal: on ne peut pas trouver plus grand.

Il y'a une grande nuance....

mais si on ne peut pas trouver plus grand comment peut il y en avoir deux?
je vois pas la grande nuance!
je comprend pas...

Salut roxane !

Le meilleur moyen de se convaincre que ce n'est pas la même chose, c'est de regarder des cas où il y a une différence...

Et ton exemple de départ est un cas idéal pour cela :
as-tu essayé d'appliquer la définition à chaque élément de ton ensemble :
--> pour savoir si 1 est un élément maximal de E, il faut tester l'implication "pour tout a de E, si 1 divise a, alors a=1"
Ici, ce n'est pas le cas car 1 divise 2 alors que 1 2
Donc 1 n'est pas un élément maximal de E.

--> pour savoir si 4 est un élément maximal de E, il faut tester l'implication "pour tout a de E, si 4 divise a, alors a=4"
Ici, c'est le cas, car 4 ne divise ni 1, ni 2 ni 3, et le seul élément de E qui est divisible par 4 est 4 lui-même...
L'implication est vérifiée, donc 4 est un élément maximal de E...

--> Il faut tester de même si 2 et 3 sont des éléments maximaux ou pas...

Fais-le pour voir ce qu'il se passe !!

@+
Emma

ok,alors en faisant comme ca 3 et 4 sont les éléments maximaux de A.
mais est-ce que rechercher les majorants de A qui appartiennent a E est faux?

Oui, c'est faux : tu l'as dit toi même dans ton premier message :
"mais je ne trouve pas de majorant car aucun élément de A n'est divisible par tout les autres éléments de A "

Il se peut très bien qu'il n'y ait pas de maximum... on en a un exemple ici...
Par contre, s'il y en a un, il est unique

Alors qu'il peut y avoir plusieurs éléments maximaux distincts (ici, on a 3 et 4 qui sont éléments maximaux de ton ensemble pour la relation "diviser" )...

S'il y a deux notions, avec deux définitions distinctes, c'est pour une bonne raison

ok.
si je voulais faire comme ca c'est parce que dans la question précédente on demandait de montrer que: x est un élément maximal de A x est le plus grand élément de A
Or x est le plus grand élément de A x est un majorant et x A

Euh... attention : il me semble que tu écris des équivalences là où il n'y a en fait que des implications !!

Ah, non, pardon : j'avais zappé la fin de ta phrase : le "et x A"
Je reprends ça et je reviens

Bah, je retrouve plus mes définitions...
Pourtant, l'équivalence "[ x est un élément maximal de A] [ x est le plus grand élément de A ]" me paraît bizarre
En effet, on parle d'un élément maximal mais du plus grand élément...

Je vais continuer à chercher... à moins que quelqu'un d'autre ne te vienne en aide avant  !!!

on précisait dans la question qu'on considérait comme une relation d'ordre total.
(j'ai oublié de le préciser!)
je sais pas si ca explique le truc...

Oui oui !! c'est exactement ça le truc !!

Au cas où, je te rappele ce qu'est une relation d'ordre totale :

Avec une relation d'ordre totale, on peut toujours comparer deux éléments.
Par exemple, dans , la relation "" est totale : pour tous a et b réels, on a soit que ab , soit que ba...

Par contre, la relation "diviser" n'est pas totale : par exemple, si je prends 2 et 5... on ne peut pas les comparer : on n'a pas " 2 divie 5" mais on n'a pas non plus "5 divise 2"

Et c'est donc pour cela que tu n'avais pas le droit d'utiliser l'équivalence de la question précédente !

Ouf Ton équivalence est exacte, mais seulemet dans certains cas ! Et en général, on te sortiras des exercices avec des relaions d'ordre qui ne seront pas totales, histoire qu'il y ait une réelle différence entre "le plus grand élément" et "un élément maximal"...
Mais dorénavant, tu ne tomberas plus dans le panneau (et moi non plus )

Emma

Lorsque l'ensemble considéré est relativement simple, il vaut mieux faire un dessin,
Il y'a équivalence totale entre un arbre et un ordre.

Ici tu peux dessiner un arbre ou la 1e feuille est le 1 puis de laquelle part 2branches qui arrivent a 2feuilles qui sont 2 et 3, et de la feuille 2 part une nouvelle branche jusqu'a la feuille avec un 4.

En fait ca te permet d'avoir 2chaines:
1-3
1-2-4
Chaque chaine est un ensemble sur lequel ta relation est un ordre total, et chaque chaine ici possede donc un maximum.
Tu peux en fait voir les elements maximaux de ton ensemble pour la relation considéré comme le bout de chaque chaine, donc en fait comme le maximum de chacun des ensembles sur lesquel ta relation est totale...

Si tu veux un autre exemple aussi tres convaincant de la non existence d'un maximum, et ou il y'a des elements maximaux, tu peux considerer la relation d'inclusion sur un ensemble de parties de X.
Par exemple X=[0,1]
Il est clair que la relation d'ordre sur P(X) ne peut pas etre totale, en effet par exemple [0,2/3] et [1/2,1] ne sont pas comparable, aucun n'est inclus dans l'autre...

L'ensemble A={E dans P(X), E=[0,1/3-1/n] ou E=[1/3,2/3-1/n] ou E=[2/3,1-1/n])} Union {[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]}

L'ensemble A possède 3 elements maximaux.
Si tu prends tous les ensembles de la 1e forme, alors ils sont tous inclus les un dans les autres, on a une suite croissante d'ensemble.
Idem pour le 2e et idem pour le 3e.
Ainsi on a 3chaines d'ensemble, puisque 2ensembles de forme différentes que j'ai défini, ne sont pas inclus l'un dans l'autre.
Chaque chaine possède un maximum (suivant la forme de l'ensemble, on le trouve dans ce que j'ai mis apres l'union).

L'ensemble A contient alors 3éléments maximaux qui sont [0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]
Note que si je rajoute un élément a A qui n'est inclus dans aucun de ces 3la ou que ne les contient pas, je crée alors une nouvelle chaine.
Par exemple si j'ajoute [1/4,1/2], comme il n'est jamais contenu dans aucun autre ensemble, alors c'est lui aussi un élément maximal pour mon nouvel ensemble A.
Si j'ajoute X a mon ensemble A, alors X est maximal pour toutes les chaines, donc c'est LE maximun de A.

ok dac,merci!