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Niveau école ingénieur
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Eléments propres d'une matrice 4x4

Posté par
jb122
23-09-21 à 20:32

Bonsoir,

Actuellement en bac+3 en école d'ingénieur suite à un DUT, je viens vous demander de l'aide pour un exercice de maths que je peine à réussir.

Je dois d'abord déterminer les éléments propres de la matrice 4x4  

A=

0111
1011
1101
1110


Je sais que pour les valeurs propres d'une matrice sont les solutions de l'équation det(A-I*) = 0 donc j'ai cherché la matrice A-I*

A=
111
111
111
111


et j'ai essayé de calculer le déterminer mais c'est vraiment très long et brouillon, je pense que je m'y prend mal.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?

Merci d'avance pour votre réponse.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Eléments propres d'une matrice 4x4 23-09-21 à 20:46

Bonsoir,
Ce que je propose est un peu intuitif.
Dans une base (i,j,k,l), la matrice A est celle d'une application linéaire f.
J'ai écrit ce qu'étaient f(i), f(j), f(k), f(l).
J'ai ensuite cherché des combinaisons linéaires simples des vecteurs i, j, k et l qui sont des vecteurs propres.

Posté par
GBZM
re : Eléments propres d'une matrice 4x4 23-09-21 à 21:10

Bonsoir,

Attention, tu écris A-\lambda I_4, mais après tu nous présente A+\lambda I_4 !

Deux possibilités :
1°) Y aller bille en tête et calculer le déterminant de A-\lambda I_4 pour trouver les valeurs propres. Ce n'est pas si compliqué que ça (regarde par exemple la somme de toutes les colonnes de cette matrice).
2°) Regarder la matrice A-\lambda I_4 droit dans les yeux et s'apercevoir qu'en choisissant bien \lambda on a une matrice avec un tout tout petit rang.  Et hop, ça nous fait une valeur propre avec une grosse multiplicité. Après, on peut se souvenir que la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité est la trace de la matrice A.

Posté par
Vassillia
re : Eléments propres d'une matrice 4x4 23-09-21 à 22:14

Bonsoir,

Si j'avais du le faire, j'y serai surement allé bille en tête mais c'est un tort, la 2ème méthode est nettement mieux, on peut le faire de tête, je te la recommande jb122

Posté par
bernardo314
re : Eléments propres d'une matrice 4x4 23-09-21 à 22:34

Bonsoir,

Le rang de  A+I  est facile à trouver... et quand on a plus qu'une valeur propre à trouver il y a une recette classique.

Posté par
malou Webmaster
re : Eléments propres d'une matrice 4x4 24-09-21 à 20:17

Bonjour à tous

jb122, pour écrire les matrices, choisir l'éditeur Ltx

Eléments propres d\'une matrice 4x4

puis

Eléments propres d\'une matrice 4x4



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