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Niveau terminale
en nombres entiers
Posté par tanx
bonjour,
voici mon énoncé:
"Un article subit deux augmentations qui s'expriment,en pourcentage,par des nombres entiers.Sachant que l'augmentation globale est de 18.65%,déterminer ces deux entiers."
ce que j'ai fait:
on nomme les deux inconnues n1 et n2, on écrit:
(1+n1/100)(1+n2/100)=1+18.65/100
après multiplication par 10 000, il vient:
100(n1+n2)+n1n2=1865
en identifiant:
n1+n2=18 et n1n2=65
soit {n1;n2}={5;13}
j'aurai voulu légitimer l'identification et démontrer qu'il n'y a pas d'autre solutions
Bonjour
il y a une autre solution
trouvez deux nombres dont on connaît la somme et le produit sont, s'ils existent, les solutions de
il n'y a que 2 solutions à cette équation en revanche pour les nombres il y a deux couples solutions ou
salut
quand on ne sait pas utiliser/écrire des indices on utilise deux des 26 lettres de l'alphabet ...
@hekla: si on lit bien mon post, j'ai égalisé deux paires (délimiteur"{" et non "(")
ce qui donne deux couples solutions.
par contre comment démontrer qu'il n'y a pas d'autres couples solutions ?
Bonjour,
Une première idée :
D'après 100(n1+n2) = 1865 - (n1n2) on a
n1+n2 
18 .
Une seconde idée :
Le produit n1n2 est un multiple de 5 ;
donc un des 2 entiers est un multiple de 5.
Il y a peut-être plus rapide.
Salut,
Je reprends ta dernière égalité :
100(n1+n2)+n1n2=1865
donc : n1n2 = 1865 - 100(n1+n2) = 5[373-20(n1+n2)]
Donc 5 divise n1n2 , donc 5 divise l'un des deux : par exemple, n1.
Par ailleurs, n1n2 est positif, donc 373-20(n1+n2) l'est aussi, et donc n1+n2 est inférieur ou égal à 18.
Donc 3 possibilités pour n1 : 5 ; 10 ou 15.
On trouve les valeurs éventuelles correspondantes de n2.
Et par symétrie de la formule, on conclut.
Bonjour,
légitimer l'identification
beurk
moi je n'ai rien à "légitimer" parce que je ne fais aucune "identification" douteuse
n1n2 + 100n1 + 100n2 = (n1+100)(n2+100) - 100²
on aboutit à :
n1+100 et n2+100 sont des diviseurs "complémentaires" de 1865 +10000 = 11865 = 3×5×7×113
de plus ces diviseurs devant être > 100 (pour n1 et n2 > 0)
la seule solution est 105×113 donnant n1 = 5 et n2= 13 ou le contraire
l'égalité entre ensembles signifie que les ensembles ont les mêmes éléments il n'y a pas correspondance entre un élément de l'un et un élément de l'autre
il n'y a que deux solutions distinctes à une équation du second degré lorsque
on cherche les couples solutions de ce système
on peut donner à une des deux valeurs et
aura l'autre valeur
il ne peut pas y avoir un troisième couple
--> hekla :
Il me semble que tu n'as pas saisi le pb de tanx :
Il ne cherchait pas à résoudre n1+n2=18 et n1n2=65 (il sait très bien le faire),
mais à "justifier" le passage de 100(n1+n2)+n1n2=1865 à n1+n2=18 et n1n2=65.
surtout que en relisant y avait même pas besoin de refactoriser quelque chose qui l'était déja
il suffisait de s'abstenir de développer à l'excès
Citation :
on nomme les deux inconnues n1 et n2, on écrit:
(1+n1/100)(1+n2/100)=1+18.65/100
après multiplication par 10 000, il vient:
(100+n1)(100+n2) = 10000+1865 !!! directement.
on nomme les deux inconnues n1 et n2, on écrit:
(1+n1/100)(1+n2/100)=1+18.65/100
après multiplication par 10 000, il vient:
et on ne cherche surtout pas à développer ce produit !
tanx @ 15-10-2018 à 16:29
@carpediem: d'accord j'aurai dû écrire n_1 et n_2.
moi j'aurai écrit m et n ... et même comme je n'écrit pas toujours très bien @carpediem: d'accord j'aurai dû écrire n_1 et n_2.
j'aurai pris tout simplement a et b .. ou tout autre couple de deux lettres distinctes ... pour ne pas m'emmerder avec des indices inutiles...
PS : et évidemment j'aurai écrit ce qu'a écrit mathafou à 156h53
ne jamais développer quand on ne sait pas pourquoi ... (calculer c'est bon pour les bourrins et les esclaves) ... penser c'est bon pour moi... comme pour tout être humain qui décide de se servir de son cerveau ... la richesse acquise n'en est que plus grande et profitable ...
d'autre part quand on utilise la somme et le produit il est toujours instructif de se rappeler que si u est une solution alors :
1/ s - u est l'autre solution
2/ donc s - (s - u) = u est encore solution
3/ p/u est solution
4/ donc p/[p/u] = u est toujours solution
et que donc si (u, v) est un couple solution alors (v, u) est évidemment solution
Citation :
j'aurai écrit ce qu'a écrit mathafou à 156h53
Déjà si tard...
j'aurai écrit ce qu'a écrit mathafou à 156h53
Et mon radio-réveil qui marque pourtant 88H88 : va falloir remmettre les pendules à l'heure !
salut
pour justifier le passage de 100(n1+n2)+n1n2=1865 à n1+n2=18 et n1n2=65.
il faut juste voir que 100(n1+n2)+n1n2=1865 est de la forme A=BQ+R
et donc 1865 mod 100 = 65 qui vaut n1.n2 et on en deduit n1+n2 facilement
pourquoi donc n1n2, qui devrait donc être un reste de division euclidienne, serait il inférieur au diviseur 100 ? (sinon tout s'écroule)