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en polaire
On se place dans le plan affine euclidien muni d'un repère orthonormal (O,i,j)
Pour une courbe 
d'équation polaire r=f(
), une conchoïde est une courbe c d'équation polaire r=f() + c ( c constante réelle )
M point de d'angle polaire et P le point de c de même angle polaire
1) M
0. Montrer que l'intersection de la normale en M a et de la perpendiculaire en O à la droite ( OM ) est un point Q tel que la droite ( QP ) est la normale en P a la courbe c
2) En déduire un moyen géométrique simple de construction de la normale de la tangente en P à la courbe
3) Comment obtenir la normale en P si M=O ?
Rappel: pour une courbe en coordonnées polaires r=f(t), la tangente fait un angle v avec le rayon tel que tanv=r/r', donc la normale en M a pour équation polaire (u,p)
1/p=cos(u-t)/f(t)+sin(u-t)/f'(t). De même en P a pour équation 1/p=cos(u-t)/(f(t)+c)+sin(u-t)/f'(t)
Pour u=t+pi/2, cos(u-t)=0 et les points des normales en M et P coïncident (Q : p=f'(t)) :cqfd
le 2) s'en déduit
Pour le 3, il me semble que les normales sont alors parallèles (à vérifier)
Que ne comprends-tu pas?
- l'angle de la tangente avec le rayon, ça doit être du cours...
- l'angle de la normale c'est v+pi/2, donc un vecteur (1/f, 1/f') est parallèle à la tangente et orthogonal à la normale dans un repère après rotation d'angle t
- j'écris l'équation de la normale dans ce repère x/f(t)+y/f'(t)=k avec x=pcos(u-t) y=psin(u-t), et k=1 déterminé par le fait que la normale passe par M (quand u=t)
C'est pas du cours, tout ça?
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