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encadrement d une suite de riemann par des intégrales

Posté par mickachef (invité) 16-09-05 à 17:28

Bonjour,

soit la suite Tn = (1/n)∑(de k=1 à n) de f(k/n)

ici f est définie par f(x)=0.25x²-0.25-0.5ln(x)
par étude de la fonction on trouve qu'elle est croissante sur (1; + linfini)
on se propose alors de démontrer que

intégrale de ((1/n) à 1) de f(t)dt < Tn < [(1/n)*f(1/n) + intégrale de ((1/n) à 1)de f(t)dt]


j'ai essayé de partir de 1<k<n mais ça n'aboutit pas vraiment et je ne sais vraiment pas comment faire.......

n est un entier naturel supérieur ou égal à 3....

Posté par nounou_cam (invité)division reguliere 16-09-05 à 18:44

as tu vu les division reguliere d'intervalle?

car il s'agit d'une demonstration courante des sommes de riemman, par la methode de la division puis par telescopage .

voila

Posté par
kachouyabre : encadrement d une suite de riemann par des intégrales 16-09-05 à 18:45

bonsoir
indication;
au contraire  n s'interesse à l'intervalle ]0;1] oû f est décrossante.
essaye d'encadrer f et son intégrale sur l'intervalle [1/n;1]
en plus f est positive sur]0;1] ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:encadrement d une suite de riemann par des intégrales 16-09-05 à 18:47

Bonjour mickachef;
une petite étude de la fonction f montrer qu'elle est continue ,positive et strictement décroissante sur ]0,1] avec \fbox{\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty\\f(1)=0} on peut alors écrire:
\fbox{\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(t)dt=\Bigsum_{k=1}^{n-1}\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}f(t)dt} et vu que f est décroissante sur [\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}] on a \fbox{\forall t\in[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}]\\f(\frac{k+1}{n})\le f(t)\le f(\frac{k}{n})} par intégration on a que:
\fbox{\frac{f(\frac{k+1}{n})}{n}\le\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}f(t)dt\le\frac{f(\frac{k}{n})}{n}} d'où par sommation pour k=1..n-1 on a:
\fbox{\frac{1}{n}\Bigsum_{k=2}^{n}f(\frac{k}{n})\le\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(t)dt\le\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n-1}f(\frac{k}{n})=\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})=T_n} (puisque f(1)=0)
et on voit donc que:
\fbox{T_{n}-\frac{f(\frac{1}{n})}{n}\le\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(t)dt\le T_n} double inégalité qui s'écrit aussi:
3$\blue\fbox{\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(t)dt\le T_n\le\frac{f(\frac{1}{n})}{n}+\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(t)dt}
CQFD
Sauf erreur bien entendu

Posté par
kachouyabre : encadrement d une suite de riemann par des intégrales 16-09-05 à 18:54

bonsoir Elhor

Posté par mickachef (invité)merci a tous 16-09-05 à 19:00

non je nai pas vu la division réguliere dintervalle mais en tout cas la démonstration de elhor est tres bien faite
merciii

Posté par mickachef (invité)remarque 16-09-05 à 19:11

en relisant quand meme elhor jaimerais plus de détails sur le 2eme résultat encadré a savoir

intégrale de ((1/n) à 1) de f(t)dt = ∑( de k=1 à n-1) de linteg de de k/n à k+1/nf(t)dt
aurais tu utilisé la propriété des sommes de riemann
si oui malheureusement je ne comprends aps car f n'est pas continue en 0....


Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : encadrement d une suite de riemann par des intégrales 16-09-05 à 19:25

Bonsoir kachouyab

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : encadrement d une suite de riemann par des intégrales 16-09-05 à 23:28

Non mickachef,
C'est uniquement la relation de chasles pour les intégrales à savoir que:
\fbox{\int_{a_1}^{a_n}f=\int_{a_1}^{a_2}f+\int_{a_2}^{a_3}f+..+\int_{a_{n-2}}^{a_{n-1}}f+\int_{a_{n-1}}^{a_n}f}


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