1) Je suppose qu'il s'agit de ?

Je pose

Il te suffit de calculer la dérivée sur pour voir si elle est monotone. Ensuite tu calcules et pour démontrer que f ne s'annule une seule et unique fois.

merci mais je me suis trompé au niveau de l'énoncé :

L'expression de l'équation est en fait :   x + 2x - 4 = 0

D'accord, ça ne change pas le raisonnement : calcul de la dérivée pour montrer qu'elle est monotone.

Quelle est donc la dérivée de ?

bonjour

c'est illisible. s'agit-il de V(x)+2x-4=0?
Si oui

1) tu peux répondre de deux manières:
directement en résolvant l'équation V(x)=-2x+4
indirectement en étudiant la fonction f(x)=V(x)+2x-4 sur [0;+oo[ et en utilisant le théorème des valeurs intermidiaires;

méthode Directe:
V(x)=-2x+4 sur [0;+oo[
on doit avoir -2x+4>=0 donc x<=2 donc on doit chercher une solution dans [0;2]

soit x€[0;2] alors V(x)=-2x+4 ssi x=(-2x+4)²
                              ssi x=4x²-16x+16
                              ssi 4x²-17x+16=0
Délta)=17²-16²
      =(17+16)(17-16)
      =33

x1=(17+V(33))/8  x2=(17-V(33))/8  seul x2 appartient à [0;2]
par la calculatrice tu peux donner une valeur approchée à 10^-2

la fonction f est dérivable sur R*+ et continue sur R+

f'(x)=1/2V(x)+2 =(1+4Vx)/2Vx >0 sur R*+

donc f est strictement croissante sur R+

donc f est une bijection de R+ vers f(R+)=[f(0);limf(x)en+oo[

f(0)=-4 et limf(x)=limx(1/Vx+2-4/x)=+oo en +oo
donc f(R+)=[-4;+oo[

f(1)=1+2-4=-1
f(2)=V2

donc 0€]f(1);f(2)[
comme f est une bijection donc 0 a un antécédent unique alpha=a

f(a+h)-f(a)=hf'(a)  une appriximation au premier degré par la tangente en a.

f(a)=0 et
f'(a)=1/2Va+2 =2+(1/(8-4a))

h=10^-2

tu continues les calculs

J'ai calculé la dérivéé : 1/(2 x) + 2

Le tableau :
x                         0                             +
(4 x) +1                 +
2 x                       +
f'(x)                                +

Donc monotone (croissante ) sur L'intervalle [0;+ ]