Bonjour,

Bonjour, voici ce que j'ai trouvé et toutes les questions. Merci de votre temps.

Partie 1: Préliminiaire :
Pour cette partie (et seulement cette partie) on se place dans le cas n=6.
a. Expliquer pourquoi AOB + BOC + COD + DOE + EOF + FOA = 360°.

C'est comme si ABCDEF était découpé en triangles isocèles de sommet o (triangle équilatéraux dans ce cas).  Ces triangles possèderait alors les mêmes angles car le polygone est régulier donc la somme des angles fait 360° soit 60° pour chaque angle dans ce cas.

b.Démontrer que A(ABCDEF) ≤ pi ≤ A(A'B'C'E'F')

On sait que le disque et de rayons 1 son aire est de pi car pi*1^2=pi . On sait aussi que le disque est plus grand que le polygone bleu est plus petit que le rouge donc Aire (ABCDEF)  pi Aire (A'B'C'D'E'F').

Partie 2:
1.a. Démontrer que AOB = 360°/n

Comme le polygone régulier plus petit que le disque peut être découpé en n triangles isocèles de sommet O, cela veut dire que l'angle AOB peut-être trouvé avec la formule An = 360/n car ce sont des triangles identiques.

Soit H le milieu de (AB)
*deuxième figure*

1.b. Quelle est la nature du triangle AOB? En déduire que le triangle AHO est rectangle en H.

AOB est un triangle isocèle en O. AHO est un triangle rectangle en H car H est la hauteur du triangle ABO parce que h est le milieu de AB et passe par le sommet O et est donc perpendiculaire à AB on va appeler la hauteur issue d'un sommet principal Hn.

1.c. Déterminer en fonction de n la mesure en degré de AOH.

(360/n)/2=180/n

2.a Montrer que AH = sin(AOH) puis que OH = cos(AOH).

Sin(AOH)= AH/AO = AH/1 = AH
Cos(AOH)= OH/AO = OH/1 = OH

2.b En déduire une écriture de l'aire du triangle AOB puis de celle du polygone inscrit dans le cercle
en fonction de n.

Aire(AOB) = (AB*HO)/2
Aire(AOB) = ((sin(AOH)*2)*cos(aoh))/2
Aire(Polygone inscrit dans le cercle) = (((sin(AOH)*2)*cos(aoh))/2)*n

3. On construit le point d'intersection K de la droite (OH) avec le cercle, puis la droite (A'B') parallèle à (AB) passant par K.
3.a Montrer que OK =COS(AOH)

Le polygone exinscrit est un agrandissement du polygone inscrit. OK est égal au rayon du cercle, le rapport d'agrandissement Kn est donc:
R/Hn=1/Hn or, dans le triangle AOH vu auparavant cos(AOH) = Hn/R = Hn
Donc le rapport d'agrandissement Kn= 1/cos(An)

Après il y a les questions où je ne comprend pas… Merci de me dire si vous voyez une erreur dans mes réponses.

OK je n'ai pas tout vérifié mais je te montre pour 3,b)
J'imagine que tu connais certaines propriétés du triangle.

Surface(OA'B') = base x hauteur/2 = A'B'xOK/2
OK = 1 =>
Surface(OA'B') = A'B'/2
Surface(OA'B') = A'K

Par ailleurs :
tan(AOH) = AH/OH      (côté opposé / côté adjacent)
Les triangles OAH et OA'K sont semblables, donc :
AH/OH = A'K/OK
donc
tan(OAH) = A'K/OK
et OK = 1 =>
tan(OAH) = A'K

En rapprochant les deux formules en rouge tu as bien :
Surface(OA'B') = tan(OAH)

Tu continues, et si tu as encore des difficultés, tu demandes

Bonsoir, merci beaucoup, j'ai donc mis pour la 3.c)
On va appeler la mesure des côtés du polygone (A'B' sur la figure) Cn.
Aire(Polygone circonscrit) = (Cn/2)*n

4) Pour n100: 3,141076≤ pi ≤ 3,142627
Pour n 1000: 3,141587≤ pi ≤ 3,141603
Pour n 10000: 3,141593≤ pi ≤ 3,141593

Plus n grandit, plus l'encadrement est précis.

Voilà, merci beaucoup pour votre aide!

Bien vu, avec un peu plus de décimales c'est 3,1415926535...