elle peut se faire en terminale avec etude de derivée et encadrement

sinon tu observe que les termes polynome correspondent au developpement limité de sinh en 0 à l'ordre 5 et 3

donc utlise la formule de taylor avec reste integrale et majore l'integrale...

Il faut préciser dans quel intervalle de h, sinon c'est faux.

Si on est avec h dans [0 ; oo[, alors:


f(h) = h - h³/6 - sin(h)

f '(h) = 1 - h²/2 - cos(h)

f ''(h) = -h + sin(h)

f '''(h) = -1 + cos(h)

f '''(h) <= 0 --> f ''(h) est décroissante.
f ''(0) = 0

Des 2 lignes précédentes on conclut que f ''(h) <= 0 pour h dans [0 ; oo[

Avec f ''(h) <= 0 --> f '(h) est décroissante.
f '(0) = 1 - 0 - 1 = 0.

Des 2 lignes précédentes on conclut que f '(h) <= 0 pour h dans [0 ; oo[

Avec f '(h) <= 0 --> f (h) est décroissante.
f(0) = 0 - 0 + 0 = 0

Des 2 lignes précédentes on conclut que f (h) <= 0 pour h dans [0 ; oo[
On a donc:

h - h³/6 - sin(h) <= 0 pour h dans [0 ; oo[

h - h³/6 <= sin(h) pour h dans [0 ; oo[
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On procède de manière analogue pour montrer que sin(h) <= h - h³/6 + h^5/120

En étudie le signe de g(h) = h - h³/6 + h^5/120 - sin(h) pour h dans [0 ; oo[

g'(h) = ...

g ''(h) = ...

A toi de continuer.
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Sauf distraction.  

Muchas gracias amigos !
André