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encore une intégrale

Posté par
fusionfroide 24-01-07 à 22:16

Salut

Je dois calculer par parties : 4$I=\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2}arctan(x)dx

J'ai posé 4$u=x^2 et 4$v^'=\frac{arctan(x)}{1+x^2}

Mais je tourne en rond et j'obtiens I=I ce qui en soi n'est pas faux

Auriez-vous une idée ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 22:19

Bonsoir fusionfroide

Applique le théorème belge ! :D

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : encore une intégrale 24-01-07 à 22:21



Salut kaiser

J'essaie ça de suite (mais on m'impose l'IPP :S)

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 22:22

T'inquiète pas : même en faisant ça, il y aura une IPP à faire !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : encore une intégrale 24-01-07 à 22:23

ok

Donc j'écris x^2=x^2+1-1 ?

Ca à l'air de bien marcher pour l'instant

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 22:24

ah tiens une étoile !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 22:24

oui, c'est bien ça !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : encore une intégrale 24-01-07 à 22:26

Citation :
ah tiens une étoile !


:D
Trions, trions ...

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 22:27

Citation :
:D
Trions, trions ...


eh ben, je te souhaite un bon tri !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : encore une intégrale 24-01-07 à 22:28

J'obtients 4$I=\int_0^1 arctan(x)dx-\int_0^1 \frac{arctan(x)}{1+x^2}dx

Est-ce correct ? car je ne vois pas d'IPP à faire

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 22:30

Déjà, la deuxième intégrale se calculer facilement.

Pour la première, l'astuce est de dire qu'on doit intégrer \Large{1\times \arctan(t)}.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : encore une intégrale 24-01-07 à 22:30

Ah ok merci, j'ai compris !

Bonne soirée kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 22:31

Mais je t'en prie !
Bonne soirée à toi aussi !

Posté par
fusionfroidere : encore une intégrale 24-01-07 à 22:47

Oups une dernière question

Comment montre-t-on que 4$\rm \int_a^b f(t)dt=\lim_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^{+\infty} f(a+k\frac{b-a}{n})  ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 22:48

N'aurais-tu pas oublié un \Large{\frac{b-a}{n}} devant la somme ?
Dans ce cas, c'est simplement le théorème sur les sommes de Riemann.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : encore une intégrale 24-01-07 à 22:50

Ah oui effectivement, je ne comprenais pas !

Bon bah merci (cette fois c'est la bonne )

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 22:51

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 22:51

bien sûr f doit être continue sinon ...

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : encore une intégrale 24-01-07 à 23:05

Toujours là ? :D

J'ai déterminé que 4$\frac{t-2}{\sqrt{t^2-1}} ~ 4$\frac{-1}{2\sqrt{t-1}}

Donc 4$\int_1^2 \frac{t-2}{\sqrt{t^2-1}} diverge ou converge ? Je ne sais plus ?

Dans mon cours elle converge d'après le prof mais je ne vois plus quel critère il utilise (ici on n'a pas vraiment du Riemman, si ?)

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 23:10

Citation :
Toujours là ? :D


Et oui ! Encore et toujours là ! :D

Sinon, c'est bien du Riemann sauf qu'au lieu de le faire en 0, on le fait en 1.
D'ailleurs, avec un changement de variable, on s'y ramène aisément.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : encore une intégrale 24-01-07 à 23:11

Oui c'est évident

A+

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 23:12

Posté par Sigma_HX1_204 (invité)Qques remarques. 24-01-07 à 23:21

Dans le post de 22h47 de fusionfroide, il faut aussi faire remarquer, outre le facteur multiplicatif manquant, que la sommation s'arrête à n, ou n-1, ou n-3000, mais certainement pas +\infty.

Pour mémoire, le théorème sur les sommes de Riemann (qui prouve l'existence et la valeur de la limite demandée par fusionfroide) est vrai sous des hypothèses bien moins fortes que la continuité de f sur [a;b] (malgré ce que laisse entendre Kaiser dans son post de 22h51 en disant que

Citation :
f doit être continue sinon...
); par exemple, sous l'hypothèse que f est intégrable au sens de Riemann sur [a;b].

Posté par
fusionfroidere : encore une intégrale 24-01-07 à 23:27

Et pour 4$\int_e^{+\infty} \frac{dt}{tln(t)} je trouve que ça converge, est-ce correct ?

Posté par
fusionfroidere : encore une intégrale 24-01-07 à 23:33

Hum pourtant on a 4$I=[ln(ln(t))]_e^{+\infty}->+\infty

Posté par Sigma_HX1_204 (invité)Réponse. 24-01-07 à 23:34

Non, c'est faux : pour X,Y > 1, on a

\int_{X}^{Y} \frac{1}{t\text{ln}(t)} \text{d}t = \Big[\text{ln}(\text{ln}(t)\Big]_{X}^{Y}

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 23:35

Je ne voulais pas trop me mouiller sur ce coup mais ce que je voulais dire était que ceci était sûr pour des fonctions continues. Maintenant, je ne disais pas que ceci est la condition pour que ça marche.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 23:42

fusionfroide> L'intégrale est manifestement divergente. Juste par curiosité, comment as-tu procédé initialement pour aboutir à la convergence ?

Kaiser

Posté par Sigma_HX1_204 (invité)re : encore une intégrale 24-01-07 à 23:46

Pas de pb, Kaiser.
J'imagine bien que tu es au courant de ce genre de choses, mais ta phrase est un peu équivoque, tu en conviendras :

Citation :
il FAUT que f soit continue sinon ...


Aussi, je préfère ne pas laisser traîner des choses un peu imprécises sur le forum (que je viens de découvrir et que j'aime beaucoup); c'est un abus de langage (malheureusement) fréquent.

Voilou.

Posté par
fusionfroidere : encore une intégrale 24-01-07 à 23:47

Bah j'avais essayé de trouver un petit o de quelque chose mais je me rend compte que c'était faux.

En fait, il suffit de trouver une primitive.

PS : je ne comprends pas la remarque de Sigma à 23h34 : c'est bien ce que j'ai trouvé !

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 23:48

Citation :
mais ta phrase est un peu équivoque, tu en conviendras


Effectivement !

Citation :
Aussi, je préfère ne pas laisser traîner des choses un peu imprécises sur le forum


Tu as parfaitement raison !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : encore une intégrale 24-01-07 à 23:49

Citation :
PS : je ne comprends pas la remarque de Sigma à 23h34 : c'est bien ce que j'ai trouvé !


posts-croisés (enfin je pense) !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : encore une intégrale 24-01-07 à 23:50

ok


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