Bonjour, voici l'énoncé :
1) Montrer que deux matrices nilpotentes de M3(R) sont semblables si et seulement si elles ont le même polynôme minimal.
2) Déterminer toutes les réduites de Jordan possibles pour un endomorphisme nilpotent de R4.
3) Construire deux matrices de M4(R) nilpotentes, ayant le même polynôme minimal et qui ne sont pas semblables.
4) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E stables par u tels que E = F⊕G. Montrer que le polynôme minimal de u est le ppcm des polynômes minimaux des restrictions de u à F et G.
J'aurai besoin d'aide svp
salut
1/ et 3/ montre que la dimension de l'espace joue un rôle fondamental ...
ensuite il suffit de savoir que l'indice de nilpotence d'une matrice est inférieur (ou égal) à sa dimension (de la matrice ou de l'espace) (par définition du polynome caractéristique et son degré (et donc celui de son polynome minimal))
donc quand on sait ce qu'est une matrice nilpotente on a quasiment répondu aux questions 1/ et 3/ et même à 2/ qui est associée
pour 4/ il suffit d'écrire proprement les choses
soit p le polynomes minimal de u on a donc p(u) (F) = 0 et p(u) (G) = 0
si f et g sont les polynomes minimaux de u restreinte à F et à G respectivement on a aussi f(u) (F) = 0 et g(u) (G) = 0
donc p est un multiple de f et g
...
Pour le 1), puisque on est en dimension 3 on peut avoir ces cas là :
( 1 0)
(0 1)
(0 0 ) ici le polynôme minimal est (X-
)^3 pour les deux matrices
on peut aussi avoir
( 0 0)
(0 0)
(0 0 ) ici le polynôme minimal est (X-
) pour les deux matrices
on peut aussi avoir
( 0 0)
(0 1)
(0 0 ) ici le polynôme minimal est (X-
)² pour les deux matrices
Si les matrices n'ont pas le même polynôme minimal alors elles ne sont pas semblables car la trace de la réduite de Jordan ne sera pas la même
sais-tu ce qu'est une matrice nilpotente ?
ce qui élimine d'office le deuxième cas et détermine la valeur de !!!
puis à nouveau la définition d'une matrice nilpotente permet de conclure qu'il n'y a qu'un seul cas
Ah oui d'accord le deuxième cas n'est pas possible puisque la multiplicité de λ dans le polynôme minimal est égale à l'indice de nilpotence de l'endomorphisme donc du coup si la multiplicité est 1 c'est pas bon car les matrices ne sont pas nulles à la base, pour le deuxième à éliminer je vois pas trop
Bonsoir !
Une matrice est nilpotente si il existe une puissance telle que la matrice est nulle mais je vois pas le rapport
Pour la 2) du coup :
(0 1 0 0)
(0 0 1 0) 1 bloc de Jordan
(0 0 0 1)
(0 0 0 0)
(0 1 0 0)
(0 0 0 0) 2 blocs de Jordan
(0 0 0 1)
(0 0 0 0)
(0 1 0 0)
(0 0 0 0)
(0 0 0 0) 3 blocs de Jordan
(0 0 0 0)
(0 0 0 0)
(0 0 0 0) 4 blocs de Jordan
(0 0 0 0)
(0 0 0 0)
(0 1 0 0)
(0 0 1 0)
(0 0 0 0) 2 blocs de Jordan
(0 0 0 0)
C'est un début mais il faut écrire le polynôme minimal dans chaque cas ET montrer que dans un cas au moins, avec le même polynôme minimal, les matrices ne sont pas semblables.
(0 1 0 0)
(0 0 1 0) 1 bloc de Jordan, polynôme minimal : X^4
(0 0 0 1)
(0 0 0 0)
(0 1 0 0)
(0 0 0 0) 2 blocs de Jordan, polynôme minimal : X²
(0 0 0 1)
(0 0 0 0)
(0 1 0 0)
(0 0 0 0)
(0 0 0 0) 3 blocs de Jordan, polynôme minimal : X²
(0 0 0 0)
(0 0 0 0)
(0 0 0 0) 4 blocs de Jordan, polynôme minimal : X
(0 0 0 0)
(0 0 0 0)
(0 1 0 0)
(0 0 1 0)
(0 0 0 0) 2 blocs de Jordan, polynôme minimal : X^3
(0 0 0 0)
La deuxième matrice et la troisième matrice ont le même polynôme minimal mais les matrices ne sont pas semblables
Oui mais il faudrait donner une raison plus convaincante que celle consistant à "regarder" des matrices.
Pour le rang c'est une bonne réponse.
Es-tu-sûre qu'il y a unicité de réduction d Jordan ? Il me semble que les blocs de Jordan peuvent être placés dans un ordre quelconque.
D'ailleurs dans le cas des matrices 3*3 on avait similitude même avec des blocs placés différemment.
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :