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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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endomorphisme

Posté par
morgane55
11-06-18 à 11:41

Bonjour, voici l'énoncé :

1) Montrer que deux matrices nilpotentes de M3(R) sont semblables si et seulement si elles ont le même polynôme minimal.

2) Déterminer toutes les réduites de Jordan possibles pour un endomorphisme nilpotent de R4.

3) Construire deux matrices de M4(R) nilpotentes, ayant le même polynôme minimal et qui ne sont pas semblables.

4) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E stables par u tels que E = F⊕G. Montrer que le polynôme minimal de u est le ppcm des polynômes minimaux des restrictions de u à F et G.

J'aurai besoin d'aide svp

Posté par
carpediem
re : endomorphisme 11-06-18 à 12:19

salut

1/ et 3/ montre que la dimension de l'espace joue un rôle fondamental ...

ensuite il suffit de savoir que l'indice de nilpotence d'une matrice est inférieur (ou égal) à sa dimension (de la matrice ou de l'espace) (par définition du polynome caractéristique et son degré (et donc celui de son polynome minimal))

donc quand on sait ce qu'est une matrice nilpotente on a quasiment répondu aux questions 1/ et 3/ et même à 2/ qui est associée


pour 4/ il suffit d'écrire proprement les choses

soit p le polynomes minimal de u  on a donc p(u) (F) = 0 et p(u) (G) = 0

si f et g sont les polynomes minimaux de u restreinte à F et à G respectivement on a aussi f(u) (F) = 0 et g(u) (G) = 0

donc p est un multiple de f et g

...

Posté par
morgane55
re : endomorphisme 11-06-18 à 13:33

Pour le 1), puisque on est en dimension 3 on peut avoir ces cas là :

( 1 0)
(0 1)
(0 0 ) ici le polynôme minimal est (X-)^3 pour les deux matrices

on peut aussi avoir
( 0 0)
(0 0)
(0 0 ) ici le polynôme minimal est (X-) pour les deux matrices

on peut aussi avoir
( 0 0)
(0 1)
(0 0 ) ici le polynôme minimal est (X-)² pour les deux matrices

Si les matrices n'ont pas le même polynôme minimal alors elles ne sont pas semblables car la trace de la réduite de Jordan ne sera pas la même

Posté par
carpediem
re : endomorphisme 11-06-18 à 15:45

sais-tu ce qu'est une matrice nilpotente ?

ce qui élimine d'office le deuxième cas et détermine la valeur de !!!

puis à nouveau la définition d'une matrice nilpotente permet de conclure qu'il n'y a qu'un seul cas

Posté par
morgane55
re : endomorphisme 11-06-18 à 16:44

Ah oui d'accord le deuxième cas n'est pas possible puisque la multiplicité de λ dans le polynôme minimal est égale à l'indice de nilpotence de l'endomorphisme donc du coup si la multiplicité est 1 c'est pas bon car les matrices ne sont pas nulles à la base, pour le deuxième à éliminer je vois pas trop

Posté par
carpediem
re : endomorphisme 11-06-18 à 17:29

tu ne sais donc toujours pas ce qu'est une matrice nilpotente ...

Posté par
luzak
re : endomorphisme 11-06-18 à 17:36

Bonsoir !

Citation :

Si les matrices n'ont pas le même polynôme minimal alors elles ne sont pas semblables car la trace de la réduite de Jordan ne sera pas la même

1. tu ne donnes pas des matrices nilpotentes : la seule valeur propre doit être nulle.
2. les matrices données ont exactement la même trace : je ne comprends pas ton commentaire.
...............................
Pour des matrices 3 lignes et nilpotentes il y a 3 possibilités :
Le polynôme minimal est \mu(X)=X ou \mu(X)=X^2 ou \mu(X)=X^3 (ce qui correspond à des rangs égaux à 0,1,2 respectivement).
En prenant une base des noyaux tu montres alors que tu as les formes de Jordan
\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\0 &0 &0 \\0 &0 &0 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\0 &0 &0 \\0 &0 &0 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\0 &0 &1 \\0 &0 &0 \end{pmatrix}
et que tu as similitude dès que le polynôme minimal est le même...

Posté par
morgane55
re : endomorphisme 11-06-18 à 17:39

Une matrice est nilpotente si il existe une puissance telle que la matrice est nulle mais je vois pas le rapport

Posté par
morgane55
re : endomorphisme 11-06-18 à 17:51

Ah oui d'accord merci je comprends mieux !

Posté par
carpediem
re : endomorphisme 11-06-18 à 18:57

morgane55 @ 11-06-2018 à 17:51

Ah oui d'accord merci je comprends mieux !
c'est surtout qu'il faudrait lire un cours pour savoir de quoi tu parles plutôt que d'attendre une réponse ...

Posté par
morgane55
re : endomorphisme 11-06-18 à 20:46

Pour la 2) du coup :

(0 1 0 0)
(0 0 1 0)      1 bloc de Jordan
(0 0 0 1)
(0 0 0 0)

(0 1 0 0)
(0 0 0 0)     2 blocs de Jordan
(0 0 0 1)
(0 0 0 0)

(0 1 0 0)
(0 0 0 0)
(0 0 0 0)  3 blocs de Jordan
(0 0 0 0)

(0 0 0 0)
(0 0 0 0)   4 blocs de Jordan
(0 0 0 0)
(0 0 0 0)

(0 1 0 0)
(0 0 1 0)
(0 0 0 0)  2 blocs de Jordan
(0 0 0 0)

Posté par
luzak
re : endomorphisme 12-06-18 à 08:12

C'est un début mais il faut écrire le polynôme minimal dans chaque cas ET montrer que dans un cas au moins, avec le même polynôme minimal, les matrices ne sont pas semblables.

Posté par
morgane55
re : endomorphisme 12-06-18 à 08:28

(0 1 0 0)
(0 0 1 0)      1 bloc de Jordan, polynôme minimal : X^4
(0 0 0 1)
(0 0 0 0)

(0 1 0 0)
(0 0 0 0)     2 blocs de Jordan, polynôme minimal : X²
(0 0 0 1)
(0 0 0 0)

(0 1 0 0)
(0 0 0 0)
(0 0 0 0)  3 blocs de Jordan, polynôme minimal : X²
(0 0 0 0)

(0 0 0 0)
(0 0 0 0)   4 blocs de Jordan, polynôme minimal : X
(0 0 0 0)
(0 0 0 0)

(0 1 0 0)
(0 0 1 0)
(0 0 0 0)  2 blocs de Jordan, polynôme minimal : X^3
(0 0 0 0)

La deuxième matrice et la troisième matrice ont le même polynôme minimal mais les matrices ne sont pas semblables

Posté par
luzak
re : endomorphisme 12-06-18 à 09:58

Oui mais il faudrait donner une raison plus convaincante que celle consistant à "regarder" des matrices.

Posté par
morgane55
re : endomorphisme 12-06-18 à 11:24

Elles n'ont pas la même réduite de Jordan

Posté par
morgane55
re : endomorphisme 12-06-18 à 12:32

Le rang des matrices

Posté par
luzak
re : endomorphisme 12-06-18 à 14:22

Pour le rang c'est une bonne réponse.
Es-tu-sûre qu'il y a unicité de réduction d Jordan ? Il me semble que les blocs de Jordan peuvent être placés dans un ordre quelconque.

D'ailleurs dans le cas des matrices 3*3 on avait similitude même avec des blocs placés différemment.

Posté par
morgane55
re : endomorphisme 12-06-18 à 15:03

Oui bien sûr ils peuvent être placés dans l'ordre que l'on souhaite pardon !
Merci à tous



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