Bonjour,

ce sont des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie je suppose ?
Montre que f (ou g) est inversible, et montre que l'inverse est égal à g (ou f).

salut

la loi o est associative et c'est fondamental car nécessaire ...

le truc est de composer convenablement/judicieusement à gauche et à droite par les endomorphismes adéquats ... (dans l'égalité f o g = I)

Salut carpediem,

est-ce que dans ton raisonnement tu supposes l'unicité de f ou g ? Car sinon je n'aboutis pas avec ta méthode... et comme elle paraît plus simple, j'ai envie d'aboutir...
si tu n'as pas fait d'hypothèses supplémentaires, j'attendrai que Jean29000 revienne pour voir ce que tu proposes

Bonjour merci à vous 2 !

Je n'ai pas d'hypothèse en + sur f et g mais oui, l'exercice se passe bien en dimension finie.

Carpediem si j'ai bien compris je me sert du fait que Ide◦f (ou g) = Ide et j'essaye comme ça de faire apparaitre mon g ◦ f ?

Mon dernier message est faux je me suis trompé de sens !

Hello !

Si gof = Id alors g est injective donc bijective en tant qu'endo de dimension finie

Pardon je reprends



Si fog = Id comme Id est surjective alors f est surjective donc bijective en tant qu'endo de dimension finie

f o g = I => g o (f o g) = g <=> (g o f) o g = g => g o f = I

car g est bijective ...

pour tout x il existe y tel que x = g(y) donc pour tout x : g o f(x) = (g o f) (g(y)) = g(y) = x

ce me semble-t-il ...

Hello carpediem pas d'accord.

Je pose pour E = suites à valeurs réelles


f(u)=(u1,u2...)
g(u) = (0,u0,u1,...)

fog(u) = u
gof(u) = (0,u1,...)

je suis d'accord avec ton pas d'accord lionel52 ... car on est en dimension infinie et donc f et g ne sont pas bijectives  ...

mais en dimension finie il me semble que ça marche ... car f et g sont bijectives !!

(ça m'est venue d'ailleurs avec tes deux msg de bijectivité et de dimension finie)

Tout à fait. Si f on démontre que f ou g est bijective c'est gagné

Bonsoir,
il me semble que si f et g sont des applications quelconques de E dans E alors fog=Id entraîne gof=Id.
Mais je peux me tromper.

Non je prends E = R

f(x) = tan(x) complété par 0 en dehors de ]-pi/2,pi/2[
g(x) = arctan(x)


On a pour tout x
fog = Id



Bref
1) si E est un ev de dimension fini c'est pas forcement vrai
2) si E est de dim finie et si f et g ne sont pas linéaires non plus

Ce qu'il faut faire :

1) Si fog est injective alors g est injective
1bis) Si fog est surjective alors f est surjective

Tu es pas obligé de montrer les 2.

2) Si g est un endomorphisme injectif alors comme E est de dim finie g est aussi bijectif. Son inverse que je note g' existe
(Tu peux reproduire le raiso avec la 1bis)

3) De fog = Id  en composant à droite par g' tu obtiens f = g'
Ca donne en composant à gauche par g : gof = Id

Merci Lionel,

la méthode de carpediem était donc correcte ? C'est celle que j'avais initialement essayer mais problème de calcul.

Non elle est fausse ce n'est pas parce que hog = g  que h  = Id  

Prends g = 0 ou plus généralement un projecteur... g^2 = g

la méthode de lionel52 est la méthode classique pour montrer que si un endo admet un inverse à gauche et à droite alors ils sont égaux ...

carpediem

ah ok donc tu exploites bien la dimension finie, nos preuves sont les mêmes alors

pour Jean29000, si tu as compris pourquoi un endomorphisme injectif ou surjectif en dimension finie est bijectif et que tu ne comprends pas l'unicité, pars de



et compose à droite par g' et utilise l'associativité de la loi "composition"