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Endomorphisme
Bonjour,
soit n>=1, E=Rn[X], P∈E
on considère l'endomorphisme :
f : E -->E
f(P)=P(X+1)
De plus on a, g=f-IdE
Je n'arrive pas à résoudre cette question :
La question est :
Qui est l'endomorphisme g^(n+1) ( dans les indications nous sommes censés trouver g^(n+1)=0) ? En déduire qu'il existe a0,...,an réels tq pour P∈E,
P(X+n+1)=
Pour la première partie, j'ai écrit :
g^(n+1)=(f-Ide)^(n+1)=
Et ensuite je remarque que f^(n+1)=P(X+n+1)
Je ne vois pas comment montrer que g^(n+1)=0 et en déduire la suite de la question
Merci d'avance pour votre aide
salut
je pense que tu as remarqué que si Q = g(P) = f(P) - I(P) alors Q(x) = P(x + 1) - P(x)
et si tu calculais déjà g2(P) puis gk(P) pour k variant jusqu'à n + 1 ?
Bonjour,
La clé pour résoudre la question est de penser au degré : si est le degré de
, que est le degré de
?
Pardon quand j'écris g^(n+1) je ne parle pas de dérivée mais juste de puissance, l'avoir écrit entre parenthèse a porté à confusion. Il s'agit donc bien de g à la puissance n+1
GBZM et moi-même avions bien compris que c'était une puissance (parler de dérivée a-t-il un sens d'ailleurs ?) puisque moi-même les utilise dans ma réponse
GBZM t'a donné le truc que je voulais te faire découvrir : quel est le degré de g(P), de gk(P), de gn + 1 (P) ?
D'accord, donc si n est le degré de P je trouve que le degré de g^(n+1) est (n-1)(n+1) c'est bien ça ?
J'ai pris l'exemple avec g(X^2)=2X+1
donc g^2(X^2)=4X^2+4X+1
g^3(X^2)=8X^3+...
donc si P est de degré 2 on a g^(n+1) qui est de degré n+1 non?
non mais ce n'est pas une puissance au sens des naturels !!
c'est une puissance au sens de la composition : g2 = g o g
et la composition des endomorphismes correspond à la multiplication des matrices associées
non
P(x) = x^2
Q = g(P) donc Q(x) = 2x + 1
g o g(P) = g(Q) = R donc R(x) = ... ?
g o g o g(P) = g3(P) = S donc S(x) = ... ?
Je me permets de répondre :
Non, ce n'est pas correct. Tu calcules au lieu de calculer
.
La composition porte sur l'endomorphisme , pas sur le polynôme
.
D'accord c'est bon je trouve enfin le résultat merci, j'avais mal composé en effet !!
Comment puis-je faire maintenant pour montrer le résultat pour un n entier naturel supérieur à 1 ?
Tu n'as toujours pas tilté !
Si tu appliques une fois, le degré baisse de 1
Si tu appliques deux fois, le degré baisse de ?
Si tu appliques
fois, le degré baisse de ?
Tu pars de polynômes de degré inférieur ou égal à . Au bout de combien d'applications de
auras-tu ratatiné tous ces polynômes ?
si je vois que si on applique g une fois le degré baisse de 1
g deux fois le degré baisse à nouveau de 1 etc
donc si on prend notre exemple g(X^2)=2X+1
on aura g^3(X^2)=0
d'ou g^(n+1)(P)=0 pour un polynôme de degré n
Heu - tu as du mal à expliquer que si un entier (le degré) inférieur ou égal à n baisse de 1 à chaque étape, il va passer au-dessous de 0 en au plus n+1 étapes ?
oui il baisse de 1 à chaque étape dans notre exemple mais il faudrait le généraliser proprement pour tout n, je ne veux pas dire que c'est une récurrence immédiate dans ce cas la
Je pensais que tu pouvais démontrer que si avec
, alors
si
et
si
(c.-à-d. si
est une constante non nulle).
Ce n'est pas possible de la faire par récurrence
Je dis :
g^(k+1)=0=Q(X) pour k>=1
donc g^(k+2)=Q(X+1)-Q(X)=0-0=0
C'est sûrement mal rédigé mais je voulais savoir si l'idée était correcte
pourquoi compliqué quand on peut faire simple :
d'après le msg de GBZM à 19h33 tu as simplement :
deg[g(P)] = deg(P) - 1 si deg(P) > 0
et deg[g(P)] = deg(P) = 0 si deg(P) = 0 et même plus simplement g(P) est le polynome nul lorsque P est un polynome constant (son degré est 0 ... enfin pour un polynome constant non nul puisque le degré du polynome nul est -oo)
oui je comprends, mais je ne vois pas en quoi cela montre que c'est au bout de n+1 étapes que g(P)=0
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