salut

je pense que tu as remarqué que si Q = g(P) = f(P) - I(P) alors Q(x) = P(x + 1) - P(x)

et si tu calculais déjà g²(P) puis g^k(P) pour k variant jusqu'à n + 1 ?

Bonjour,

La clé pour résoudre la question est de penser au degré : si est le degré de , que est le degré de ?

Bonjour,
Le degré de g(P) est d-1

Oui, et normalement là ça devrait faire tilt.

Pardon quand j'écris g^(n+1) je ne parle pas de dérivée mais juste de puissance, l'avoir écrit entre parenthèse a porté à confusion. Il s'agit donc bien de g à la puissance n+1

GBZM et moi-même avions bien compris que c'était une puissance (parler de dérivée a-t-il un sens d'ailleurs ?) puisque moi-même les utilise dans ma réponse

GBZM t'a donné le truc que je voulais te faire découvrir : quel est le degré de g(P), de g^k(P), de g^{n + 1} (P) ?

D'accord, donc si n est le degré de P je trouve que le degré de g^(n+1) est (n-1)(n+1) c'est bien ça ?

J'ai pris l'exemple avec g(X^2)=2X+1
donc g^2(X^2)=4X^2+4X+1
g^3(X^2)=8X^3+...

donc si P est de degré 2 on a g^(n+1) qui est de degré n+1 non?

non mais ce n'est pas une puissance au sens des naturels !!

c'est une puissance au sens de la composition : g² = g o g

et la composition des endomorphismes correspond à la multiplication des matrices associées

ok donc on a g^(n+1) qui est de degré n-1 si P est de degré n ?

non

P(x) = x^2

Q = g(P) donc Q(x) = 2x + 1

g o g(P) = g(Q) = R donc R(x) = ... ?

g o g o g(P) = g³(P) = S donc S(x) = ... ?

J'ai g(P)=2x+1
g^2(P)=2(2x+1)+1=4x+3
g^3(P)=g^2(P)o g(P)=4(2x+1)+3=8x+7

si Q = g(P) donc Q(x) = 2x + 1 alors g²(P) = g(Q)

et g(Q)(x) = Q(x + 1) - Q(x) = ...

Ce n'est pas correct ce que j'ai écrit précédemment ?

Je me permets de répondre :
Non, ce n'est pas correct. Tu calcules   au lieu de calculer .
La composition porte sur l'endomorphisme , pas sur le polynôme .

D'accord c'est bon je trouve enfin le résultat merci, j'avais mal composé en effet !!
Comment puis-je faire maintenant pour montrer le résultat pour un n entier naturel supérieur à 1 ?

J'avais pensé de partir de ça, mais j'ignore si c'est une bonne idée :
g(X^n)=

Tu n'as toujours pas tilté !
Si tu appliques une fois, le degré baisse de 1
Si tu appliques deux fois, le degré baisse de ?
Si tu appliques fois, le degré baisse de ?
Tu pars de polynômes de degré inférieur ou égal à . Au bout de combien d'applications de auras-tu ratatiné tous ces polynômes ?

si je vois que si on applique g une fois le degré baisse de 1
g deux fois le degré baisse à nouveau de 1 etc

donc si on prend notre exemple g(X^2)=2X+1
on aura g^3(X^2)=0
d'ou g^(n+1)(P)=0 pour un polynôme de degré n

Maintenant tu as tilté ...

Comment je peux montrer ce résultat maintenant ? Le voir sur des exemples ne suffit pas

Heu - tu as du mal à expliquer que si un entier (le degré) inférieur ou égal à n baisse de 1 à chaque étape, il va passer au-dessous de 0 en au plus n+1 étapes ?

oui il baisse de 1 à chaque étape dans notre exemple mais il faudrait le généraliser proprement pour tout n, je ne veux pas dire que c'est une récurrence immédiate dans ce cas la

Je pensais que tu pouvais démontrer que si avec , alors si et si (c.-à-d. si est une constante non nulle).

Ce n'est pas possible de la faire par récurrence
Je dis :
g^(k+1)=0=Q(X) pour k>=1
donc g^(k+2)=Q(X+1)-Q(X)=0-0=0
C'est sûrement mal rédigé mais je voulais savoir si l'idée était correcte

pourquoi compliqué quand on peut faire simple :

d'après le msg de GBZM à 19h33 tu as simplement :

deg[g(P)] = deg(P) - 1 si deg(P) > 0

et deg[g(P)] = deg(P) = 0 si deg(P) = 0 et même plus simplement g(P) est le polynome nul lorsque P est un polynome constant (son degré est 0 ... enfin pour un polynome constant non nul puisque le degré du polynome nul est -oo)

oui je comprends, mais je ne vois pas en quoi cela montre que c'est au bout de n+1 étapes que g(P)=0

à chaque fois que tu appliques g à un polynome le degré de son image baisse de 1 !!

donc en appliquant n fois g au même polynome de degré n le degré de son image est ...