Bonjour,

Observe un peu ce que tu cherches.
Tu veux une base de telle que .
Tu cherches donc deux éléments dans le noyau de dont un est dans l'image de .

Il faut donc comprendre le noyau de et son image: en partant de l'égalité , est-ce que tu ne vois une relation entre et ?
Quelle est la dimension de ces deux sous-espaces vectoriels ?
A toi de conclure ensuite.

Oui c'est vrai qu'on a Im(f)Ker(f)
donc rg(f)dim ker(f)
et rg(f)+dim ker(f)=3
donc puisque f est non nulle rg(f)=1 et dim ker(f)=2
Im(f)=vect(e₁)
il existe e₂ tq f(e₂)=e₁
e₁kerf donc on complete à une base (e₁,e₃)
ainsi (e₁,e₂,e₃) est une base convenable
cela est il bon ?

Pour l'instant, tu as l'existence des trois vecteurs recherchés et les bonnes conditions sur l'image par f de tes vecteurs.
Par construction, la famille est libre.

Il reste cependant à s'assurer que la famille est bien une base de .

je pense qu'il fallais mieux créer la base (e₁,e₃)
et puis la compléter en une base de E : (e₁,e₂,e₃)
f(e₂)=e1
on crée une autre base (e₁,e₂/,e₃)

Non justement tu étais sur la bonne voie.
Tel que tu le proposes maintenant, ou même n'ont aucun raison d'être dans l'image de .

Reprends ton idée initial et essaie de conclure en montrant que ta famille est une base de E.

Im f = Vect(e1). On complète en une base (e1,e3) de Ker f que l'on complète ensuite en une base (e1,e2,e3) de
E. Comme f(e2) ∈ Im f, il existe λ ∈ R tel que f(e2) = λe1. Mais λ n'est pas nul (sinon f = 0); on pose alors
ε2 = e2/λ. La matrice de f dans la base e = (e1,ε2,e3) est de la forme souhaitée

Ok, maintenant on est d'accord.