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Endomorphisme de R^4
Bonjour, je bloque sur un exercice:
Soit f un endomorphisme de 
4 tel que f ° f = 0.
a) L'application f est-elle injective ? surjective ?
b) L'application f - id est-elle injective ? surjective ?
J'ai déjà répondu à la question a) et j'ai trouvé que f n'était ni injective ni surjective.
Mais je ne sais pas par où commencer pour répondre à la question b), je pense qu'il y a quelque chose sous mes yeux mais que je ne vois pas...
J'ai essayé de calculer (f - id) ° (f - id) pour voir si ça donnais quelque chose d'intéressant mais je n'ai rien trouvé d'intéressant (ou bien je ne m'en rend pas compte), j'ai trouvé que ça donne (-2f + id).
Merci d'avance.
salut
soit u et v deux vecteurs ...
injectivité :
(f - I)u = (f - I)v ==> f(u) = f(v) en composant par f
conclure avec a/
surjectivité :
(f - I)u = v ==> -u = f(v)
conclure avec a/
Ok merci, du coup:
(f -id)(u) = (f- id)(v) 
f(u) = f(v)
Or f n'est pas injective d'après a) donc:
f(u) = f(v) u = v
donc f - id n'est pas injective.
(f - id)(u) = v -u = f(v)
Or d'après a), f n'est pas surjective donc il n'est pas assuré que cette équation possède au moins une solution dans E, donc f - id n'est pas surjective.
Mais je me demandais si le fait que f soit un endormophisme implique automatiquement que f - id le soit aussi ? (On a rien là dessus dans le cours), car dans ce cas on pourrait dire:
(f - id) est un endomorphisme donc (f - id) pas injective 
(f - id) pas surjective
la somme (différence) de deux applications linéaires n'est-elle pas linéaire ?
et ton équivalence est bien sûr fausse ... que f - I soit un endomorphisme ou non ...
faux pour la surjectivité ...
PS : en fait j'ai corrigé mon précédent msg mais pas effacé le bon truc !!! je voulais effacer "conclure avec a/"
mais on a le droit de réfléchir cependant ...
on cherche u tel que v étant donné on ait (f - I)u = v
or en composant par f on obtient u = -f(v) donc ...
Donc u 
Im(f) ?
Dans ce cas comme f pas surjective, Im(f) ≠ R4, donc u n'appartient pas forcément à R4 ? Et donc f - id pas surjective ?
Et pour l'équivalence d'avant je pensais qu'on pouvait utiliser un théorème qui dit que: si f: E --> F linéaire et dim E = dim F finis, alors f injective <=> f surjective <=> f bijective.
Donc u
Im(f) ?
Dans ce cas comme f pas surjective, Im(f) ≠ R4, donc u n'appartient pas forcément à R4 ? Et donc f - id pas surjective ?
Et pour l'équivalence d'avant je pensais qu'on pouvait utiliser un théorème qui dit que: si f: E --> F linéaire et dim E = dim F finis, alors f injective <=> f surjective <=> f bijective.
Boulette, je voulais dire: u
Im(f) ≠ R4 donc l'équation (f -id)(u) = v n'admet pas au moins une solution dans R4 tout entier. Mais même là je suis pas sûr de ce que je dis...ça ne va toujours pas ... et c'est plutôt du pifomètre ce que tu nous dis ...
ensuite j'ai bien sûr fait une erreur ...
surjectivité : on cherche u tel que v étant donné on ait (f - I)u = v
or en composant par f on obtient -f(u) = f(v) ...
ce qui ne semble pas intéressant pour l'instant ...
mais tout simplement :
(f - I)u = v <=> u = f(u) - v
mezalor prenons plutôt u = -f(v) - v
alors (f - I)u = -f(v) + f(v) + v ...
et c'est ainsi qu'après une erreur et deux échecs on aboutit au résultat ...
Alors étant donné v l'équation (f - id)(u) = v admet une solution donc f -id est surjective c'est bien ça ?
Et bien, pour montrer qu'une application f: E 
F est surjective il faut montrer que 
v F, 
u E tel que v = f(u). Donc ici pour (f - id)(u) = v on trouve que ce u existe, en effet il vaut (-f(v) + v) R4, donc f - id est surjective d'après la définition.
Salut,
Salut caperdiem, je me permet de donner une autre piste.
f est un endomorphisme, donc on a :
f est bijective f est surjective fest injective
On a aussi est injecitve si et seulement si
Suppose que f-id ne soit pas injective
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