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Niveau maths sup
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Endomorphisme de R^4

Posté par
NetOptique
14-05-22 à 18:04

Bonjour, je bloque sur un exercice:

Soit f un endomorphisme de 4 tel que f ° f = 0.

a) L'application f est-elle injective ? surjective ?

b) L'application f - id est-elle injective ? surjective ?

J'ai déjà répondu à la question a) et j'ai trouvé que f n'était ni injective ni surjective.

Mais je ne sais pas par où commencer pour répondre à la question b), je pense qu'il y a quelque chose sous mes yeux mais que je ne vois pas...
J'ai essayé de calculer (f - id) ° (f - id) pour voir si ça donnais quelque chose d'intéressant mais je n'ai rien trouvé d'intéressant (ou bien je ne m'en rend pas compte), j'ai trouvé que ça donne (-2f + id).

Merci d'avance.

Posté par
carpediem
re : Endomorphisme de R^4 14-05-22 à 18:53

salut

soit u et v deux vecteurs ...

injectivité :

(f - I)u = (f - I)v ==> f(u) = f(v)         en composant par f

conclure avec a/


surjectivité :

(f - I)u = v ==> -u = f(v)

conclure avec a/

Posté par
NetOptique
re : Endomorphisme de R^4 14-05-22 à 22:15

Ok merci, du coup:

(f -id)(u) = (f- id)(v) f(u) = f(v)
Or f n'est pas injective d'après a) donc:
f(u) = f(v) \nRightarrow u = v
donc f - id n'est pas injective.

(f - id)(u) = v -u = f(v)
Or d'après a), f n'est pas surjective donc il n'est pas assuré que cette équation possède au moins une solution dans E, donc f - id n'est pas surjective.

Mais je me demandais si le fait que f soit un endormophisme implique automatiquement que f - id le soit aussi ? (On a rien là dessus dans le cours), car dans ce cas on pourrait dire:
(f - id) est un endomorphisme donc (f - id) pas injective (f - id) pas surjective

Posté par
carpediem
re : Endomorphisme de R^4 15-05-22 à 08:45

la somme (différence) de deux applications linéaires n'est-elle pas linéaire ?
et ton équivalence est bien sûr fausse ... que f - I soit un endomorphisme ou non ...

faux pour la surjectivité ...

PS : en fait j'ai corrigé mon précédent msg mais pas effacé le bon truc !!! je voulais effacer "conclure avec a/"

mais on a le droit de réfléchir cependant ...

on cherche u tel que v étant donné on ait (f - I)u = v

or en composant par f on obtient u = -f(v) donc ...

Posté par
NetOptique
re : Endomorphisme de R^4 15-05-22 à 15:03

Donc u Im(f) ?
Dans ce cas comme f pas surjective, Im(f) ≠ R4, donc u n'appartient pas forcément à R4 ? Et donc f - id pas surjective ?


Et pour l'équivalence d'avant je pensais qu'on pouvait utiliser un théorème qui dit que: si f: E --> F linéaire et dim E = dim F finis, alors f injective <=> f surjective <=> f bijective.

Posté par
NetOptique
re : Endomorphisme de R^4 15-05-22 à 15:18

NetOptique @ 15-05-2022 à 15:03

Donc u Im(f) ?
Dans ce cas comme f pas surjective, Im(f) ≠ R4, donc u n'appartient pas forcément à R4 ? Et donc f - id pas surjective ?


Et pour l'équivalence d'avant je pensais qu'on pouvait utiliser un théorème qui dit que: si f: E --> F linéaire et dim E = dim F finis, alors f injective <=> f surjective <=> f bijective.


Boulette, je voulais dire: u Im(f) ≠ R4 donc l'équation (f -id)(u) = v n'admet pas au moins une solution dans R4 tout entier. Mais même là je suis pas sûr de ce que je dis...

Posté par
carpediem
re : Endomorphisme de R^4 15-05-22 à 16:24

ça ne va toujours pas ... et c'est plutôt du pifomètre ce que tu nous dis ...

ensuite j'ai bien sûr fait une erreur ...

surjectivité : on cherche u tel que v étant donné on ait (f - I)u = v

or en composant par f on obtient -f(u) = f(v) ...

ce qui ne semble pas intéressant pour l'instant ...

mais tout simplement :

(f - I)u = v <=> u = f(u) - v

mezalor prenons plutôt u = -f(v) - v

alors (f - I)u = -f(v) + f(v) + v ...

et c'est ainsi qu'après une erreur et deux échecs on aboutit au résultat ...

Posté par
NetOptique
re : Endomorphisme de R^4 16-05-22 à 20:42

Alors étant donné v l'équation (f - id)(u) = v admet une solution donc f -id est surjective c'est bien ça ?

Posté par
carpediem
re : Endomorphisme de R^4 16-05-22 à 22:52

ben qu'en penses-tu ?

Posté par
NetOptique
re : Endomorphisme de R^4 17-05-22 à 00:00

Et bien, pour montrer qu'une application f: E F est surjective il faut montrer que v F, u E tel que v = f(u). Donc ici pour (f - id)(u) = v on trouve que ce u existe, en effet il vaut (-f(v) + v) R4, donc f - id est surjective d'après la définition.

Posté par
carpediem
re : Endomorphisme de R^4 17-05-22 à 08:18

ben voila !!

il faut te mettre au travail et aller au fond des choses par toi-même un peu !!

Posté par
mousse42
re : Endomorphisme de R^4 17-05-22 à 12:00

Salut,

Salut caperdiem, je me permet de donner une autre piste.

f est un endomorphisme, donc on a :

f est bijective f est surjective fest injective
On a aussi g est injecitve si et seulement si \ker g =0

Suppose que f-id ne soit pas injective

Posté par
mousse42
re : Endomorphisme de R^4 17-05-22 à 12:10

il faut lire \ker g =\{0_{\R^4}\}

Posté par
mousse42
re : Endomorphisme de R^4 17-05-22 à 12:33

Il a trouvé la solution, donc j'en donne une autre.

On suppose que f-id n'est pas injective, il existe donc x\in \ker(f-id) tel que x\ne 0_{R^4} qui vérifie (f-id)(x)=0\iff f(x)=x par conséquent f^2(x)=f(f(x))=f(x)=x, ce qui contredit l'hypothèse de l'énoncé :f^2(x)=0_{\R^4}  : \forall x\in \R^4. Donc f-id est injective, donc surjective



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