Bonjour à tous,

J'ai eu un exercice à faire sur les endomorphismes et les matrices symétriques réelles. Voilà l'énoncé :

I. Soit E un espace euclidien. Un endomorphisme symétrique u de E est dit positif si on a x E <u(x),x>0
a) Soit u L(E) supposé symétrique. Montrer que u est positif si et seulement si ses vecteurs propres sont positifs (au sens large).

Je pense que pour cette c'est bon, pour le sens direct () c'est plutôt évident. Pour le sens indirect j'ai utilisé le théorème spectral, j'ai crée une b.o.n de E composé de vecteurs propres de u  et je décompose tout vecteurs de E comme une combinaison linéaires de vecteurs propres de u, j'abouti bien à x E <u(x),x>0

b) Soit u L(E) un endomoprhisme symétrique positif. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme r symétrique tel que ^r=u.

Cette question je dois la faire par analyse synthèse, j'ai encore réfléchis à la partie synthèse pour démontrer l'existence mais la partie analyse je bloque dessus. J'ai supposé qu'il existait deux endomorphismes r et r' satisfaisant les conditions mais j'arrive pas à montrer que r=r'.

c) Soit u et v des endomorphismes symétriques positifs de E. Démontrer les inégalités : 0Tr(UoV)Tr(u).Tr(v)

J'imagine qu'on doit utiliser le fait que la trace est indépendante de la base, mais je vois pas en quoi la question I.b) m'aide à faire cette question parce qu'elle est pas posée pour rien enfin j'espère

II. Une matrice symétrique réelle S S_n() est dite positive si on a X M_n,1() <SX,X>0

a) Soit S S_n(). Montrer que S est positive si et seuelemnt si Sp(S) ₊.

Le sens direct () j'ai fait par contre le sens indirect je sais pas par où passer, je sais que S est diagonalisable à l'aide d'une matrice de passage orthogonale mais est ce que ça m'aide vraiment de savoir ça ?

b) Soit A M_n(). Montrer que la matrice S=A^tA est symétrique positive.

Symétrique c'est simple on voit que S^T=S, pour positive j'ai utilisé la II.a) j'ai montré que Sp(S) ₊.


c) On rappelle qu'on définit un produit scalaire (.|.) sur M_n() en posant (A|B)=Tr(A^TB), soit ||.|| la norme associé. En utilisant la question I.c) montrer la relation :
(A,B) (M_n())² ||AB||||A||. ||B||

La je sais pas quoi faire...