Bonsoir,
Merci d'avance.
Pour tout intervalle réel non réduit à un point, on désigne par l'espace vectoriel des fonctions continues de dans . Lorsque est un segment, on dispose sur l'espace des normes usuelles :
cette dernière norme étant déduite du produit scalaire défini par :
Pour tous réels et , on désigne par l'espace vectoriel des fonctions continues de dans .
I - Opérateurs de Volterra
Pour cette partie, sont deux réels et est l'espace .
A toute fonction , on associe les applications et définies par :
pour tous et . On dit que est un opérateur de Volterra de noyau .
Pour constante égale à 1 sur , on notera simplement l'opérateur de Volterra correspondant et l'opérateur , soit :
1. Montrer que l'application est un endomorphisme de .
2. Montrer que est l'unique endomorphisme de tel que pour toutes fonctions dans , on ait est l'opérateur adjoint de .
3. On se propose de montrer que est continue de dans avec .
(a) Monter le résultat pour à valeurs positives.
(b) Montrer que l'opérateur est continue de dans avec .
(c) Justifier l'existence de tel que :
(d) On désigne par une suite de réels strictement positifs telle que et par la suite de fonctions continues définie par :
Montrer que et conclure.
Réponses
1) Pour montrer que l'application est un endomorphisme de , il faut vérifier que est une application linéaire de dans . C'est-à-dire, pour tous et , on a :
Donc est linéaire. De plus, comme est une fonction continue de pour tout (par le théorème de continuité des fonctions intégrales, on a bien pour tout . Donc est un endomorphisme de .
Mais il me semble que c'est tout faux, et que l'intégrale varie..
Bonjour matheux14
Alors si j'ai bien compris, là où tu bloques, c'est que le paramètre x intervient aussi dans les bornes ?
Dans ce cas, pour , tu considères une suite quelconque (pas trop quand même car doit rester dans [a,b]) qui converge vers et ton but est alors de démontrer que la suite numérique converge vers .
Tu vas donc être amené à écrire (avec les vérifications d'usage, bien entendu) quelque chose comme
Et là, tu utilises les astuces habituelles des potaches en intégration : Chasles, continuité, majoration etc etc
Salut jsvdb
Ensuite, comment pourrait-on utiliser le fait que et sont continues et bornées sur pour majorer ces deux termes et montrer qu'ils tendent vers zéro quand tend vers l'infini ?
Pour la deuxième propriété, on remarque que est une fonction de qui est continue et définie sur , donc .
Il faut poursuivre les majorations avec la propriété |f||f|, faire apparaître le fait que K est continu dans la premiere valeur absolue et les normes sup de f et K dans la seconde en remarquant que le domaine d intégration fond à vue d'oeil
Comme est continue sur , elle est uniformément continue sur ce domaine. Donc, pour tout , il existe tel que pour tous , si et , alors .
En particulier, si , alors pour tout , on a . Donc, on a :
Or, quand tend vers l'infini, tend vers , donc les deux termes entre parenthèses tendent vers zéro. Ainsi, on obtient :
Ce qui montre que est continue en . Comme est arbitraire, on en déduit que est continue sur , donc .
Oui, bien rédigé ! Bravo !
On peut probablement aussi tenter ça : et utiliser directement le TCD de Lebesgue quasiment les yeux fermés.
Oui, donc on vérifie que la fonction est mesurable et dominée par une fonction intégrable indépendante de .
On peut peut-être prendre comme fonction dominante et ce qui évite de passer par les suites?
Pour la 2e question
Pour montrer que est un endomorphisme de , il suffit de reprendre le même raisonnement que pour en inversant les rôles de et dans les intégrales. On obtient ainsi que est linéaire et que pour tout et tout .
Pour montrer que pour tous , on calcule les deux membres de l'égalité en utilisant les définitions de , et du produit scalaire.
On a alors :
où est la fonction indicatrice de l'intervalle .
Preuve de l'unicité :
Supposons que soit un autre endomorphisme de qui vérifie pour tous .
Alors, pour tous , on a :
En prenant , il vient :
Or, le premier membre de cette égalité est la norme au carré de , qui est positive ou nulle.
Le second membre quand à lui est le produit scalaire de par une fonction de , qui peut être positif, négatif ou nul.
Donc, pour que l'égalité soit vraie, il faut que les deux membres soient nuls. Cela implique que :
La première égalité signifie que pour tout , donc que . La deuxième égalité est alors une conséquence de la première.
Conclusion : , ce qui prouve l'unicité de comme opérateur adjoint de .
oops, j'ai posté au lieu de faire aperçu ... je recommence (en rectifiant)
tout bien réfléchi, ce que je propose comme alternative ne va pas mieux marcher que ce qui a été fait avant car la famille de fonctions n'a pas le mérite de la continuité à t fixé.
3-a) Soit une fonction continue à valeurs positives sur . Soit et . On a :
Donc pour tout , ce qui montre que est continue de dans avec comme norme.
b) On remarque que :
Donc pour tout , ce qui implique que .
c) En appliquant le TVI, la fonction est continue sur et vérifie et . Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe tel que , ce qui équivaut à l'égalité demandée.
d) On a
De plus, on a :
Le passage à la limite sous le signe intégral est justifié par le fait que la fonction est une fonction intégrable sur qui domine la suite de fonctions .
On en déduit que est continue de dans avec .
Sinon, il y a un truc tout bête : le changement de variable.
Dans l'expression , poser si x > a
Naturellement, on effectue la vérification règlementaire que est bien un difféomorphisme de sur
Du coup :
Et pour x > a, la continuité de est une conséquence des intégrales paramétriques.
Reste à voir que est continue à droite en a et ça c'est pas dur.
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