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Endomorphisme et opérateurs.

Posté par
matheux14 07-01-24 à 00:46

Bonsoir,

Merci d'avance.

Pour tout intervalle réel I non réduit à un point, on désigne par \mathcal{C}^0(I, \mathbb{R}) l'espace vectoriel des fonctions continues de I dans \mathbb{R}. Lorsque I=[a, b] est un segment, on dispose sur l'espace \mathcal{C}^0([a, b], \mathbb{R}) des normes usuelles :

\begin{aligned}\|f\|_{\infty}=\sup _{x \in[a, b]}|f(x)|, \quad \|f\|_1=\int_a^b|f(t)| d t, \quad \|f\|_2=\sqrt{\int_a^b f^2(t) d t} \end{aligned}


cette dernière norme étant déduite du produit scalaire défini \operatorname{sur} \mathcal{C}^0([a, b], \mathbb{R}) par :

\begin{aligned} \forall(f, g) \in\left(\mathcal{C}^0([a, b], \mathbb{R})\right)^2,\langle f \mid g\rangle=\int_a^b f(t) g(t) d t \end{aligned}


Pour tous réels a<b et c<d, on désigne par \mathcal{C}^0([a, b] \times[c, d], \mathbb{R}) l'espace vectoriel des fonctions continues de [a, b] \times[c, d] dans \mathbb{R}.

I - Opérateurs de Volterra

Pour cette partie, a<b sont deux réels et E est l'espace \mathcal{C}^0([a, b], \mathbb{R}).
A toute fonction K \in \mathcal{C}^0\left([a, b]^2, \mathbb{R}\right), on associe les applications T_K et T_K^* définies par :

\begin{aligned}T_K(f)(x)=\int_a^x f(t) K(t, x) d t \quad ; \quad T_K^*(f)(x)=\int_x^b f(t) K(x, t) d t \end{aligned}

pour tous f \in E et x \in[a, b]. On dit que T_K est un opérateur de Volterra de noyau K.

Pour K constante égale à 1 sur [0,1]^2, on notera simplement T l'opérateur de Volterra correspondant et T^* l'opérateur T_K^*, soit :

\begin{aligned}\forall f \in E, \forall x \in[a, b], T(f)(x)=\int_a^x f(t) d t, T^*(f)(x)=\int_x^b f(t) d t \end{aligned}


1. Montrer que l'application T_K est un endomorphisme de E.

2. Montrer que T_K^* est l'unique endomorphisme de E tel que pour toutes fonctions f, g dans E, on ait \left\langle T_K(f) \mid g\right\rangle=\left\langle f \mid T_K^*(g)\right\rangle\left(T_K^*\right. est l'opérateur adjoint de \left.T_K\right).

3. On se propose de montrer que T_K est continue de \left(E,\|\cdot\|_{\infty}\right) dans \left(E,\|\cdot\|_{\infty}\right) avec \begin{aligned}\left\|T_K\right\|_{\infty}=\sup _{x \in[a, b]} \int_a^x|K(t, x)| d t \end{aligned}.

(a) Monter le résultat pour K à valeurs positives.

(b) Montrer que l'opérateur T_K est continue de \left(E,\|\cdot\|_{\infty}\right) dans \left(E,\|\cdot\|_{\infty}\right) avec \left\|T_K\right\|_{\infty} \leq\left\|T_{|K|}\right\|_{\infty}.

(c) Justifier l'existence de x_0 \in[a, b] tel que :

\begin{aligned}\left\|T_{|K|}\right\|_{\infty}=\sup _{x \in[a, b]} \int_a^x|K(t, x)| d t=\int_a^{x_0}\left|K\left(t, x_0\right)\right| d t \end{aligned}

(d) On désigne par \left(\varepsilon_n\right)_{n \in \mathbb{N}} une suite de réels strictement positifs telle que \lim _{n \rightarrow+\infty} \varepsilon_n=0 et par $\left(f_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de fonctions continues définie par :

\forall n \in \mathbb{N}, \forall t \in[a, b], f_n(t)=\dfrac{K\left(t, x_0\right)}{\left|K\left(t, x_0\right)\right|+\varepsilon_n}

Montrer que $\lim _{n \rightarrow+\infty} T_K\left(f_n\right)\left(x_0\right)=\left\|T_{|K|}\right\|_{\infty}$ et conclure.

Réponses

1) Pour montrer que l'application T_K est un endomorphisme de E, il faut vérifier que T_K est une application linéaire de E dans E. C'est-à-dire, pour tous f, g \in E et \lambda \in \mathbb{R}, on a :

\begin{aligned}T_K(f+\lambda g)(x) &= \int_a^x (f+\lambda g)(t) K(t, x) d t \ &= \int_a^x f(t) K(t, x) d t + \lambda \int_a^x g(t) K(t, x) d t \ &= T_K(f)(x) + \lambda T_K(g)(x) \end{aligned}

Donc T_K est linéaire. De plus, comme T_K(f)(x) est une fonction continue de x pour tout f \in E (par le théorème de continuité des fonctions intégrales, on a bien T_K(f) \in E pour tout f \in E. Donc T_K est un endomorphisme de E.

Mais il me semble que c'est tout faux, et que l'intégrale T_K varie..

Posté par
jsvdbre : Endomorphisme et opérateurs. 07-01-24 à 17:15

Bonjour matheux14

Alors si j'ai bien compris, là où tu bloques, c'est que le paramètre x intervient aussi dans les bornes ?

Dans ce cas, pour x_0 \in [a,b], tu considères une suite (x_n)_n quelconque (pas trop quand même car x_n doit rester dans [a,b]) qui converge vers x_0 et ton but est alors de démontrer que la suite numérique T_K(f)(x_n) converge vers T_K(f)(x_0).

Tu vas donc être amené à écrire (avec les vérifications d'usage, bien entendu) quelque chose comme \begin{align} |T_K(f)(x_n)-T_K(f)(x_0)| = \left |\int_{a}^{x_n}{f(t)K(t,x_n)dt}-\int_{a}^{x_0}{f(t)K(t,x_0)dt} \right|\end{align}

Et là, tu utilises les astuces habituelles des potaches en intégration : Chasles, continuité, majoration etc etc

Posté par
matheux14re : Endomorphisme et opérateurs. 07-01-24 à 17:45

Salut jsvdb

\begin{aligned} |T_K(f)(x_n)-T_K(f)(x_0)| &= \left |\int_{a}^{x_n}{f(t)K(t,x_n)dt}-\int_{a}^{x_0}{f(t)K(t,x_0)dt} \right| \ &= \left |\int_{a}^{x_n}{f(t)K(t,x_n)dt}-\int_{a}^{x_n}{f(t)K(t,x_0)dt} + \int_{a}^{x_n}{f(t)K(t,x_0)dt} - \int_{a}^{x_0}{f(t)K(t,x_0)dt} \right| \ &\leq \left |\int_{a}^{x_n}{f(t)(K(t,x_n)-K(t,x_0))dt} \right| + \left |\int_{x_n}^{x_0}{f(t)K(t,x_0)dt} \right| \end{aligned}

Ensuite, comment pourrait-on utiliser le fait que f et K sont continues et bornées sur [a,b] pour majorer ces deux termes et montrer qu'ils tendent vers zéro quand n tend vers l'infini ?

Pour la deuxième propriété, on remarque que T_K(f)(x) est une fonction de x qui est continue et définie sur [a,b], donc T_K(f)(x) \in E.

Posté par
jsvdbre : Endomorphisme et opérateurs. 07-01-24 à 18:46

Il faut poursuivre les majorations avec la propriété |f||f|,  faire apparaître le fait que K est continu dans la premiere valeur absolue et les normes sup de f et K dans la seconde en remarquant que le domaine d intégration fond à vue d'oeil

Posté par
matheux14re : Endomorphisme et opérateurs. 07-01-24 à 19:00

\begin{aligned} |T_K(f)(x_n)-T_K(f)(x_0)| &\leq \left |\int_{a}^{x_n}{f(t)(K(t,x_n)-K(t,x_0))dt} \right| + \left |\int_{x_n}^{x_0}{f(t)K(t,x_0)dt} \right| \ &\leq \int_{a}^{x_n}{|f(t)||K(t,x_n)-K(t,x_0)|dt} + \int_{x_n}^{x_0}{|f(t)||K(t,x_0)|dt} \ &\leq \int_{a}^{x_n}{|f|{\infty}|K(t,x_n)-K(t,x_0)|dt} + \int_{x_n}^{x_0}{|f|{\infty}|K|{\infty}dt} \ &= |f|{\infty} \left( \int_{a}^{x_n}{|K(t,x_n)-K(t,x_0)|dt} + |K|_{\infty}(x_0-x_n) \right) \end{aligned}

Comme K est continue sur [a,b]^2, elle est uniformément continue sur ce domaine. Donc, pour tout \varepsilon > 0, il existe \delta > 0 tel que pour tous (t',x') \in [a,b]^2, si |t-t'| < \delta et |x-x'| < \delta, alors |K(t,x)-K(t',x')| < \varepsilon.

En particulier, si |x_n-x_0| < \delta, alors pour tout t \in [a,b], on a |K(t,x_n)-K(t,x_0)| < \varepsilon. Donc, on a :

\begin{aligned} |T_K(f)(x_n)-T_K(f)(x_0)| &\leq |f|_{\infty} \left( \int_{a}^{x_n}{\varepsilon dt} + |K|_{\infty}(x_0-x_n) \right) \ &= |f|_{\infty} \left( \varepsilon (x_n-a) + |K|_{\infty}(x_0-x_n) \right) \end{aligned}

Or, quand n tend vers l'infini, x_n tend vers x_0, donc les deux termes entre parenthèses tendent vers zéro. Ainsi, on obtient :

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} |T_K(f)(x_n)-T_K(f)(x_0)| = 0 \end{aligned}

Ce qui montre que T_K(f) est continue en x_0. Comme x_0 est arbitraire, on en déduit que T_K(f) est continue sur [a,b], donc T_K(f) \in E.

Posté par
jsvdbre : Endomorphisme et opérateurs. 07-01-24 à 19:35

Oui, bien rédigé ! Bravo !

On peut probablement aussi tenter ça :  \begin{aligned}T_K(f)(x)=\int_a^b {f(t)K(t,x)1_{[a,x]}} \end{aligned}dt et utiliser directement le TCD de Lebesgue quasiment les yeux fermés.

Posté par
matheux14re : Endomorphisme et opérateurs. 07-01-24 à 19:47

Oui, donc on vérifie que la fonction \mapsto f(t)K(t,x)1_{[a,x]} est mesurable et dominée par une fonction intégrable indépendante de x.

On peut peut-être prendre |f|_{\infty}|K|_{\infty} comme fonction dominante et ce qui évite de passer par les suites?

Posté par
matheux14re : Endomorphisme et opérateurs. 07-01-24 à 20:04

Pour la 2e question

Pour montrer que T_K^* est un endomorphisme de E, il suffit de reprendre le même raisonnement que pour T_K en inversant les rôles de x et t dans les intégrales. On obtient ainsi que T_K^* est linéaire et que T_K^*(f)(x) \in E pour tout f \in E et tout x \in [a,b].

Pour montrer que \left\langle T_K(f) \mid g\right\rangle=\left\langle f \mid T^*_K(g)\right\rangle pour tous f, g \in E, on calcule les deux membres de l'égalité en utilisant les définitions de T_K, T_K^* et du produit scalaire.

On a alors :

\begin{aligned} \left\langle T_K(f) \mid g\right\rangle &= \int_a^b T_K(f)(x) g(x) dx \ &= \int_a^b \left( \int_a^x f(t) K(t,x) dt \right) g(x) dx \ &= \int_a^b \int_a^b f(t) K(t,x) g(x) 1_{[a,x]}(t) dt dx \ &= \int_a^b \int_a^b f(t) K(x,t) g(x) 1_{[a,x]}(t) dx dt \ &= \int_a^b f(t) \left( \int_t^b g(x) K(x,t) dx \right) dt \ &= \int_a^b f(t) T_K^*(g)(t) dt \ &= \left\langle f \mid T_K^*(g)\right\rangle \end{aligned}

où 1_{[a,x]} est la fonction indicatrice de l'intervalle [a,x].

Preuve de l'unicité :

Supposons que U soit un autre endomorphisme de E qui vérifie \left\langle U(f) \mid g\right\rangle=\left\langle f \mid U(g)\right\rangle pour tous f, g \in E.

Alors, pour tous f, g \in E, on a :

\begin{aligned} \left\langle T_K(f) - U(f) \mid g\right\rangle &= \left\langle T_K(f) \mid g\right\rangle - \left\langle U(f) \mid g\right\rangle \ &= \left\langle f \mid T_K^*(g)\right\rangle - \left\langle f \mid U(g)\right\rangle \ &= \left\langle f \mid T_K^*(g) - U(g)\right\rangle \end{aligned}

En prenant g = T_K(f) - U(f), il vient :

\begin{aligned} \left\langle T_K(f) - U(f) \mid T_K(f) - U(f)\right\rangle &= \left\langle f \mid T_K^*(T_K(f) - U(f)) - U(T_K(f) - U(f))\right\rangle \end{aligned}

Or, le premier membre de cette égalité est la norme au carré de T_K(f) - U(f), qui est positive ou nulle.

Le second membre quand à lui est le produit scalaire de f par une fonction de E, qui peut être positif, négatif ou nul.

Donc, pour que l'égalité soit vraie, il faut que les deux membres soient nuls. Cela implique que :

\begin{aligned} T_K(f) - U(f) = 0 \quad \text{et} \quad T_K^*(T_K(f) - U(f)) - U(T_K(f) - U(f)) = 0 \end{aligned}

La première égalité signifie que T_K(f) = U(f) pour tout f \in E, donc que T_K = U. La deuxième égalité est alors une conséquence de la première.

Conclusion : U = T_K, ce qui prouve l'unicité de T_K^* comme opérateur adjoint de T_K.

Posté par
jsvdbre : Endomorphisme et opérateurs. 07-01-24 à 20:35

matheux14 @ 07-01-2024 à 19:47

Oui, donc on vérifie que la fonction \mapsto f(t)K(t,x)1_{[a,x]} est mesurable et dominée par une fonction intégrable indépendante de x.

On peut peut-être prendre |f|_{\infty}|K|_{\infty} comme fonction dominante et ce qui évite de passer par les suites?

Tout bien réfléchi, ce que je propose comme alternative ne va pas mieux marcher que ce qui a été fait avant car la famille de fonctions t\mapsto f(t)K(t,x)1_{[a,x]

Posté par
jsvdbre : Endomorphisme et opérateurs. 07-01-24 à 20:39

oops, j'ai posté au lieu de faire aperçu ... je recommence (en rectifiant)

tout bien réfléchi, ce que je propose comme alternative ne va pas mieux marcher que ce qui a été fait avant car la famille de fonctions x\mapsto f(t)K(t,x)1_{[a,x] n'a pas le mérite de la continuité à t fixé.

Posté par
matheux14re : Endomorphisme et opérateurs. 07-01-24 à 21:01

D'accord, donc on ne peut pas appliquer directement le théorème de convergence dominée de Lebesgue.

Posté par
matheux14re : Endomorphisme et opérateurs. 07-01-24 à 21:42

3-a) Soit K une fonction continue à valeurs positives sur [a, b]^2. Soit f \in E et x \in [a, b]. On a :

\begin{aligned}|T_K(f)(x)| &= \left|\int_a^x f(t) K(t, x) d t\right| \ &\leq \int_a^x |f(t)| |K(t, x)| d t \ &\leq |f|_{\infty} \int_a^x |K(t, x)| d t \ &\leq |f|_{\infty} \sup_{x \in [a, b]} \int_a^x |K(t, x)| d t \ &= |f|_{\infty} |T_K|_{\infty} \end{aligned}

Donc |T_K(f)|_{\infty} \leq |f|_{\infty} |T_K|_{\infty} pour tout f \in E, ce qui montre que T_K est continue de \left(E,|\cdot|_{\infty}\right) dans \left(E,|\cdot|_{\infty}\right) avec |T_K|_{\infty} comme norme.

b) On remarque que :

\begin{aligned}|T_K(f)(x)| &= \left|\int_a^x f(t) K(t, x) d t\right| \ &\leq \int_a^x |f(t)| |K(t, x)| d t \ &= T_{|K|}(f)(x) \end{aligned}

Donc |T_K(f)|_{\infty} \leq |T{|K|}(f)|_{\infty} pour tout f \in E, ce qui implique que |T_K|_{\infty} \leq |T_{|K|}|_{\infty}.

c) En appliquant le TVI, la fonction \begin{aligned} g : x \mapsto \int_a^x |K(t, x)| dt\end{aligned} est continue sur [a, b] et vérifie g(a) = 0 et g(b) = |T_{|K|}|_{\infty}. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe x_0 \in [a, b] tel que g(x_0) = |T_{|K|}|_{\infty}, ce qui équivaut à l'égalité demandée.

d) On a \begin{aligned}T_K(f_n)(x_0) &= \int_a^{x_0} f_n(t) K(t, x_0) dt \ &= \int_a^{x_0} \dfrac{K(t, x_0)^2}{|K(t, x_0)| + \varepsilon_n} dt \ &\leq \int_a^{x_0} |K(t, x_0)| dt \ &= T_{|K|}(f_n)(x_0) \end{aligned}

De plus, on a :

\begin{aligned}\lim _{n \rightarrow+\infty} T_K(f_n)(x_0) &= \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_a^{x_0} \dfrac{K(t, x_0)^2}{|K(t, x_0)| + \varepsilon_n} dt \ &= \int_a^{x_0} \lim_ {n \rightarrow+\infty} \dfrac{K(t, x_0)^2}{|K(t, x_0)| + \varepsilon_n} dt \ &= \int_a^{x_0} |K(t, x_0)| dt \ &= |T{|K|}|{\infty} \end{aligned}

Le passage à la limite sous le signe intégral est justifié par le fait que la fonction t \mapsto |K(t, x_0)| est une fonction intégrable sur [a, x_0] qui domine la suite de fonctions t \mapsto \dfrac{K(t, x_0)^2}{|K(t, x_0)| + \varepsilon_n}.

On en déduit que T_K est continue de \left(E,|\cdot|_{\infty}\right) dans \left(E,|\cdot|_{\infty}\right) avec |T_K|_{\infty} = |T{|K|}|_{\infty}.

Posté par
jsvdbre : Endomorphisme et opérateurs. 09-01-24 à 12:00

Sinon, il y a un truc tout bête : le changement de variable.

Dans l'expression \begin{aligned}T_K(f)(x)=\int_a^x f(t) K(t, x) d t \quad \end{aligned}, poser \red{y = \dfrac{b-a}{x-a} (t-a)+a},~\blue t=\dfrac{x-a}{b-a}(y-a)}+a=\phi(y) si x > a

Naturellement, on effectue la vérification règlementaire que \phi est bien un difféomorphisme de ]a,b[ sur ]a,x[

Du coup :

\begin{aligned}T_K(f)(x)=\frac{x-a}{b-a}\int_a^b f(\phi(y)) K(\phi(y), x) d y \quad \end{aligned}

Et pour x > a, la continuité de T_K(f) est une conséquence des intégrales paramétriques.

Reste à voir que T_K(f) est continue à droite en a et ça c'est pas dur.

Posté par
matheux14re : Endomorphisme et opérateurs. 09-01-24 à 18:56

Oui c'est bien plus simple


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