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Niveau maths sup
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Endomorphisme, matrice et base

Posté par
Ulioz
23-08-21 à 17:21

Bonjour,
Je ne parviens pas à résoudre cet exercice. Le fait que T donne le  reste me pose problème problème pour la 1 et la 3. La 2 j'ai réussi en montrant que les coefficients sont =0 et que B a le même nombre de vercteurs que la dimension de R3[x]

1/ on considère T l'application de R[x] dansR[x]  qui a un polynôme P associe le reste de la division de (x-3)P  par (x-3)^4. Mq T est un endomorphisme de R3[x]

2/ montrer queB= (1; x-3; (x-3)2;(x-3)3) est une base de R3[x]

3/écrire la matrice de passage de de la base canonique deR3[x] dans  B

Merci par avance de votre aide.

Posté par
carpediem
re : Endomorphisme, matrice et base 23-08-21 à 17:24

salut

1/ à quelle condition l'application T est-elle un endomorphisme ? (revoir la définition)

3/ calculer l'image de la base canonique par T

...

Posté par
Ulioz
re : Endomorphisme, matrice et base 23-08-21 à 18:17

Bonjour merci pour ta réponse.
Pour un endomorphisme il faut vérifier que l'application est bien a valeur dans l'ensemble de départ ( pas de pb) et vérifier T(p+aQ)=T(p)+aT(q) et c'est là que ça coince. A part un calcul moche je vois pas comment faire.

Posté par
Ulioz
re : Endomorphisme, matrice et base 23-08-21 à 18:26

Je me suis trompé pour la 3/ désolé.

3/déterminer la matrice de T dans la base B

Posté par
carpediem
re : Endomorphisme, matrice et base 23-08-21 à 18:35

ben peut-être commencer ce calcul et voir !!

il est quand même plus simple de décomposer en :

T(aP) = aT(P) (qui devrait être facile)
et
T(P + Q) = T(P) + T(Q)

mais il faudra bien mettre les mains dans le cambouis à un moment !!!

Posté par
Ulioz
re : Endomorphisme, matrice et base 23-08-21 à 19:36

Effectivement la méthode "simple" est bien plus rapide merci. Par contre je bloque toujours pour déterminer la matrice de T dans la base B

Posté par
carpediem
re : Endomorphisme, matrice et base 23-08-21 à 19:51

ben tu calcules T[(x - 3)^k] pour k = 0, 1, 2, 3

et tu écris le résultat dans cette base ...

Posté par
Ulioz
re : Endomorphisme, matrice et base 23-08-21 à 20:18

Ok merci,
Ducoup je trouve
0000
1000
0100
0010
C'est bien ça ?

Posté par
carpediem
re : Endomorphisme, matrice et base 24-08-21 à 11:51

il ne me semble pas (dernière colonne à revoir) ...

Posté par
GBZM
re : Endomorphisme, matrice et base 24-08-21 à 11:57

Bonjour,

Si, c'est bien ça.

Posté par
carpediem
re : Endomorphisme, matrice et base 24-08-21 à 12:04

ha mais oui !! merci GBZM de veiller au grain ... (je ne sais pas pourquoi je voulais 1 0 0 0 en dernière colonne !!!)

Posté par
Ulioz
re : Endomorphisme, matrice et base 24-08-21 à 12:28

Parfait merci à vous deux.

Une dernière petite question dans la suite de l'exercice il demande l'image par T d'un polynôme en utilisant D la matrice de T dans la base B. J'ai multiplié D par les coordonnées de P dans la base B mais je ne suis pas sur que ça soit la bonne chose à faire ?

Posté par
Ulioz
re : Endomorphisme, matrice et base 24-08-21 à 12:42

J'obtiens 24(x-3)+25(x-3)2+9(x-3)3 alors que le polynôme est 3-2X+X3

Posté par
carpediem
re : Endomorphisme, matrice et base 24-08-21 à 12:51

ton polynome est donné au départ dans la base canonique...

il faut donc le donner dans la base B à l'aide de la matrice de passage puis ensuite calculer son image par T

donc oui à priori le raisonnement est bon ...



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