Bonjour,

C'est loin ... alors sans garantie

Injectivité
Soit x appartient au noyau de Id-u
c'est à dire que (Id-u)(x) = 0  donc x = u(x)

Hypothèse de réccurrence: (x) = x
en appliquant u à chaque membre   (x) = u(x) = x

Or   (x) = 0
donc x = 0

Le noyau est réduit à l'élément eutre donc (Id-u) est injective.


Surjectivité
Soit x un élément de l'espace vectoriel.
Montrons que x est l'image de x - (x) par (Id - u)

(Id - u)(x - (x)) = x - (x) - u(x - (x))
   = x - (x) - u(x) + (x)
   = x

d'où la surjectivité


J'espère que les notations vont passer...

Second essai


Injectivité
Soit x appartient au noyau de Id-u
c'est à dire que (Id-u)(x) = 0  donc x = u(x)

Hypothèse de réccurrence: (x) = x
en appliquant u à chaque membre   (x) = u(x) = x

Or   (x) = 0
donc x = 0

Le noyau est réduit à l'élément eutre donc (Id-u) est injective.


Surjectivité
Soit x un élément de l'espace vectoriel.
Montrons que x est l'image de x - (x) par (Id - u)

(Id - u)(x - (x)) = x - (x) - u(x - (x))
   = x - (x) - u(x) + (x)
   = x

d'où la surjectivité

A la relecture, la surjectivité est fausse

Ton espace vectoriel est de dimension finie ?

oui à priori parce qu'on a pas vu les espaces vectoriels de dimension infinie

en dimension finie, un endomorphisme injectif est aussi bijectif ... mais si tu ne l'as as apris, il faut réessayer un peu comme j'ai fait.

oui ça je l'ai vu
si on a un endo en dimesion finie,
alors cela veut dire qu'il est aussi bijectif