Bonjour!

Il me semble bien que c'est faux..

Prendre une matrice diagonale ayant un terme égal à 1 et les autres égaux à 2. Retrancher 1 à tous les termes diagonaux. On n'obtient pas une matrice nilpotente.

Bonjour,

Tu es sûr que ce ne serait pas aSp(A) la matrice (A-aI) est nilpotent ?

En effet, en notant _A le polynôme caractéristique de A, on peut le scinder dans sous la forme :
_A(X)=(X-_i)^m_i, où m_i et la multiplicité de la racine complexe _i.

Or le théorème de Cayley Hamilton nous dit que le polynôme caractéristique de A annule A, c'est-à-dire _A(A)=0
Donc :
Il existe _i tel que (A-_iI)_m[sub]i[/sub]=0

D'où l'existence d'un aSp(A) tel que (A-aI) soit nilpotent, d'indice de nilpotence la multiplicité de a dans le polynôme caractéristique de A.

Bonjour WilliamM007

Il me semble , en reprenant le même exemple, que cela ne marche pas non plus: les valeurs propres sont 1 et 2 et ni A-1I ni A-2I ne sont nilpotentes.

Bonjour à vous,

En effet, l'énoncé de Desniel ainsi que WilliamM007 sont faux.

Supposons qu'il existe une valeur propre telle que soit nilpotente alors il existe un tel que .
En particulier, le polynôme est annulateur et donc le polynôme minimal de A est de la forme avec .

Bref, cela implique que A est trigonalisable avec une unique valeur propre : A est donc semblable à une matrice triangulaire supérieure avec le même scalaire sur la diagonale.
Réciproquement, ces matrices là vérifient le truc.

Donc non, l'énoncé est loin d'être vrai en général.
Si en plus on demande que ce soit le cas pour toute valeur propre, ce ne laisse plus vraiment de choix.

Oui vous avez raison. En fait je crois que c'est parce que j'ai oublié qu'on manipulait des matrices. Mon erreur était de dire que si un produit de matrices est nul alors au moins une matrice est nulle, ce qui est faux bien sûr.

Désolé pour la fausse démonstration

Tout d'abord je vous remercie.
Je suis désolé de vous avoir fait perdre votre temps, mon énoncé étant incomplet.

Il s'agit bien du cas où la matrice n'a qu'une seule valeur propre.

Ah ok.

Alors je vais me rattraper !

Elle est trigonalisable dans et donc semblable à une matrice triangulaire supérieure qui n'a que des a sur sa diagonale, a étant l'unique valeur propre.

Il existe donc P une matrice inversible telle que P^-1AP=(aI+T) où T est une matrice triangulaire strictement supérieure.

Donc P^-1(A-aI)P=T, soit (A-aI) est semblable à une matrice triangulaire strictement supérieure, donc (A-aI) est nilpotente.

Sinon, on peut dire que le polynôme caractéristique a pour seule racine a, d'où :

_A(X)=(X-a)^m

Or d'après le théorème de Cayley Hamilton, _A(A)=0

Donc : (A-aI)^m=0, ce qui montre par la même occasion que l'indice de nilpotence est la multiplicité de a comme racine du polynôme caractéristique.

Merci beaucoup

On peut aussi ajouter, d'après le lemme de décomposition des noyaux :

E=Ker[(A-aI)^m], où m est la multiplicité de a dans le polynôme caractéristique.

Donc XM_n,1(ou), XKer[(A-aI)^m],
c'est-à-dire (A-aI)^mX=0, d'où (A-aI)^m=0.

tristesse ...

Ah oui faut le laisser chercher ...

non ...

c'est simplement qu'un énoncé incomplet ne permet de rien faire .... sauf de nous faire perdre notre temps ....

Ah.

Perso moi j'ai du temps à perdre