Bonjour

Si tu es en dimension finie, pense au héorème : dim(E) = dim(Ker(u)) + dim(Im(u))

théorème du rang en effet, mais je bute concrètement sur la 1ere ^^

Montre déjà que pour tout endomorphisme u, on a :

Ker(u) Ker(u²)

Im(u²) Im(u)

je crois avoir trouvé !
DimE = dim(Ker(u)) + dim(Im(u))
DimE = dim(Ker(u²)) + dim(Im(u²)) = dim(Ker(u)) + dim(Im(u²)) car ker(u)=ker(u²)

donc dim(Ker(u)) + dim(Im(u²)) = dim(Ker(u)) + dim(Im(u)) dim(Im(u²)) = dim(Im(u))

Si Im(u²)Im(u) ou l'invers, etant des EVs, l'equalité des Dim nous donne Im(u²)=Im(u)
Il reste a montrer l'inclusion

soit vIm(u²), wE / v=uou(w)

on pose z=u(w) , on obtient : v = u(z) donc v Im(u)
Donc Im(u²)Im(u)

CQFT

Voilà, tu as montré que Im(u²) Im(u) et que dim(Im(u²)) = dim(Im(u)), c'est bon.

merci bien bonne journée (dsl pour le CQFT je sais ça pique les yeux ^^)

A plus