Bonjour , qu'as tu trouve pour Ker(fp)?

Bonjour

En fait, je suis parti de :



Soit :  

après simplification, je trouve :



donc :



et je sais pas quoi faire ensuite.

Parce qu'il faut que je montres que ker(f_p) contient au moins un élément en plus de O ...

comment faire ?

Bonsoir lyonnais

Je ne sais pas vraiment comment tu fais ton identification mais tu peux remarquer que 0 est une racine de P et t'intéresser à sa multiplicité.

Kaiser

Bonsoir kaiser





et on arrive finalement à :



Tu penses que mon identification ensuite est fausse ?

Pour tout te dire, tu as peut-être raison, mais je ne vois pas quoi faire ensuite ...

Sinon, désolé de t'embéter, mais comment remarque tu que 0 est racine de P ( c'est peut-être tout bête mais bon ... )

Merci de te pencher sur mon exo !

Rebonjour ce que tu as ecris dans ton equivalence revient a car comme p est fixe k-p=0 ssi k=p. Juste une petite question si tu prend un polynome de degré p alors fp(P) sera de degré p+2 donc l'image n'est pas dans Cp[X] il n'y a pas une erreur pour l'espace d'arrivée?

Je n'avais pas vu le P' .

Sinon quand tu ecris a la fin fp(P) je te conseille de faire des changements d'indice dans tes sommes avant pour te ramener a un polynome sous la forme bk X^k pour avoir explicitement les coefficients sans avoir un X qui traine dans l'expression.

merci pour ces conseils Cauchy

J'ai essayé aussi de faire comme ça, mais je n'y arrive pas ...

Jord et moi , on pensait que peut-être, il faudrait un polynome de degré p pour pouvoir annulé, mais lequel

Si tu as une idée !

romain

Re bonsoir lyonnais


Soit P un élément du noyau.
Alors on a

En prenant de chaque côté la valeur en X=0, on a que P(0)=0, donc 0 est une racine de P.

Si l'on suppose que P n'est pas le poynôme nul alors il existe un entier n tel que avec .

En remplaçant dans l'équation, on tombe sur une contradiction et donc P est le polynôme nul.

kaiser

Sinon en faisant les changements d'indice comme je t'ai dit tu peux montrer que tous les coefficients sont nuls si ton polynome est de degré strictement inferieur a p et tous sont nuls sauf eventuellement le dernier si ton polynome est de degré p. Dans ce cas la tu supposes que ton polynome est de la forme ap X^p et tu montres facilement que ap=0.

merci beaucoup kaiser !!



Pas mal du tout, j'avais pas pensé à voir les choses comme ça !

Sans vouloir abuser, comment faire pour montrer si f_p est surjective ou non ?

encore merci

je t'en prie !

Ta question me force à te demander si tu as déjà vu en classe les espaces vectoriels de dimension finie.
Si c'est le cas, il est facile d'y répondre.

kaiser

Oui, j'ai déjà vu en classe les espaces vectoriels de dimension finie !

De quelle manière est-ce facile d'y répondre ?

( pourtant je pense connaitre mon cour )

encore merci !    ^{et merci aussi Cauchy}

Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie E, alors l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité de f sont équivalentes.

kaiser

Ok merci beaucoup, qu'est-ce que je suis idiot !

C'était tellement simple

Juste, je me pose une question :

Si au départ on avait eu :



Est-ce f_p serait aussi bijective ?

Pour l'injectivité, il suffit de raisonner comme tout à l'heure.
pour la surjectivité, je vais essayer de voir ça.

ok merci en tout cas.

Je cherche aussi de mon coté. On se tient au courant ...

Pour la surjectivité je pense pas qu'on puisse atteindre les polynomes constants.

Je crois avoir trouvé.

En fait, on va trop se fatiguer !
Dans le premier exercice, on ne s'est servi nulle part qu'on partait des polynômes de degré au plus p.
On a donc pour tout entier naturel et comme on a :


Alors d'où la surjectivité.

Kaiser

Kaiser, tu es un Dieu !

Cependant, je ne comprends pas le passage de :



à :



Si tu pouvais me ré-expliquer en vitesse !

Ce qui voudrait dire que les 2 fonctions sont chacunes bijectives !

merci encore

S'il te plaît lyonnais, ne dis plus jamais ça !
ça me dérange vraiment !

ok excuse moi, je me suis un peu emporté ...

Alors kaiser, tes initiatives en math me font tomber à la renverse, c'est mieux ?

Sinon, ce que je voulais dire tout à l'heure, c'était que :

c'est encore peu éxagéré, mais si j'avais à choisir entre deux je préfèrerais celle-ci.
Mais bon, ne te fais pas trop mal !!

Kaiser

Désolé : les effets de la prépa ne se sont pas encore dissipés !!

ok j'ai tout compris maintenant.

je ne sais pas comment te remercier alors bon , je vais juste te mettre une note :



Vraiment, j'ai appris des choses ce soir grâce à toi !

++
romain

Merci pour la note !

de rien

c'est mérité !

re bonsoir lyonnais

Désolé mais je viens de déceler une erreur dans mon raisonnement.
On n'a pas tout le temps l'égalité .
Ne t'inquiètes pas : je vais me rattraper.

kaiser

Comme quoi il faut toujours réfléchir avant de parler.
L'application est certes injective mais n'est pas surjective.
En effet, les polynôme de degré p+1 n'ont pas d'antécédent.
On sait déjà que l'ensemble des polynômes de degré au plus p est stable.
Soit maintenant P un polynôme de degré n supérieur à p+1.
Alors il existe un polynôme Q de degré au plus p tel que
(avec )
Par un petit calcul (j'espère que je ne me tromperai pas cette fois), on a

.

On voit alors que et l'on voit clairement que ce polynôme est de degré n+1.

Ainsi, les polynômes de degré au plus p s'envoient sur les polynômes de degré au plus p et les polynômes de degré au moins p+1 s'envoient sur les polynômes de degré au moins p+2.
d'où la non-surjectivité.
Ouf, enfin !
j'espère ne m'être trompé nulle part !

kaiser

kaiser :

tu sais ce que je pense de tout ce que tu fais, donc je n'en rajoute pas ...

Ta démonstration est parfaite et ce coup-ci, j'ai tout vérifié et re-vérifié, je pense qu'il n'y a pas d'erreur(s).

merci beaucoup d'avoir corrigé la petite faute

+++
romain

Mais je t'en prie !