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endomorphismes commutants

Posté par Profil Timea 13-01-17 à 09:39

\o
Bonjour,
Je bloque sur un exercice dont voici l'énoncé.
Soit f un endomorphisme d'un e.v E sur \mathbb{R} de dimension finie n, admettant n valeurs propres distinctes. On désigne par C(f) l'ensemble des endomorphismes g de E qui commutent avec f.
1.) Montrer que C(f) est un sous e.v de L(E).
2.) Montrer que les sous-espaces propres pour f sont tous de dimension 1.
3.) Soit g un endomorphisme de E tel que f o g = g o f.
a) Montrer que tout vecteur propre pour f est un vecteur propre pour g.
b) Montrer que g est diagonalisable dans la même base que f.
4) Donner la dimension de C(f) ainsi qu'une base constituée de projecteurs.
5) Montrer que (Id_{E}, f , f², ..., f^{n-1} ) est une base de C(f).
6) Donner le nombre d'endomorphismes g de E tels que g²=f. Discuter suivant les valeurs propres de f.

La question 1 ne pose pas de problème...
Pour la 2), j'ai précisé que puisque f admet n valeurs propres distinctes alors f est diagonalisable et les sous-espaces propres sont en somme directe. Et puisque dimE = n, la dimension de chaque sous-espace propre est égale à 1.
Par contre je n'arrive pas à la question 3.a)...
Si x est un vecteur propre associé à la valeur propre \lambda, on a f(x) = \lambda.x. puis en composant par g, j'arrive à f(g(x) = \lambda.g(x).
Donc g(x) est un vecteur propre pour f mais après je ne vois pas comment conclure que x est également vecteur propre pour g...

Merci !

Posté par
jsvdb
re : endomorphismes commutants 13-01-17 à 10:08

Bonjour Timea

3.)a) Sous la condition que g(x) soit non nul, cela ne signifie-t-il pas que g(x) est un vecteur propre de f ? Quid de g(g(x)) ? et ainsi de suite ...

Posté par Profil Timeare : endomorphismes commutants 13-01-17 à 10:14

merci pour ta réponse, jsvdb.

j'ai bien compris que g(x) est un vecteur propre de f mais je ne comprends pas le lien pour en déduire que x est un vecteur propre de g... (sous réserve effectivement que les vecteurs soient non nuls ...)

Posté par
jsvdb
re : endomorphismes commutants 13-01-17 à 10:31

Traitons déjà le fait que si g(x) = 0 alors comme x0, g(x) = 0.x est donc x est vecteur propre de g associé à la vp 0.
Donc, on continue avec g(g(x)) ... puis avec g(g(g(x))) ... et est-ce qu'on va pouvoir aller loin comme ça ?

Posté par Profil Timeare : endomorphismes commutants 13-01-17 à 12:55

Je ne comprends pas ton raisonnement jsvdb...
Par contre je sais que toutes les valeurs propres de f sont distinctes et que les sous-espaces propres sont de dimension 1. Donc si g(x) est un vecteur propre de f pour la valeur propre \lambda alors g(x) est proportionnel à x et donc il existe un réel b tel que g(x)=b.x et x est un vecteur propre de g...
Est-ce correct ?

Posté par
ThierryPoma
re : endomorphismes commutants 13-01-17 à 12:58

Bonjour,

Soit a une valeur propre de f à laquelle est associé l'espace propre E_a qui est de dimension 1 en vertu du point 2.. Soit v\in{E_a}\setminus{0_E}. Alors, f(v)=a\,v, de sorte que

f(g(v))=g(f(v))=g(a\,v)=a\,g(v)

ce qui fait que g(v)\in{E_a}. En vertu de ce qui précède, il existe donc (...)

Posté par
ThierryPoma
re : endomorphismes commutants 13-01-17 à 12:59

Erratum :

Soit v\in{E_a}\setminus\{0_E\}.

Posté par
jsvdb
re : endomorphismes commutants 13-01-17 à 13:06

ThierryPoma @ 13-01-2017 à 12:58

l'espace propre E_a qui est de dimension 1 en vertu du point 2.

Bonjour TP, bonne année à toi
La dim 1 des SEP ! Effectivement ! je l'ai zappé celle-là ...

Posté par Profil Timeare : endomorphismes commutants 13-01-17 à 13:18

oui d'accord merci bien... j'ai compris.
Je poursuis...

Posté par Profil Timeare : endomorphismes commutants 16-01-17 à 10:57

Bonjour,
A la question 3.b) g est bien diagonalisable mais je ne comprends pas comment montrer qu'elle l'est dans la même base que f...
on sait que les SEP sont tous de dimension 1, donc un vecteur propre est aussi une base du SEP auquel il appartient et puisque chaque SEP est stable par g on peut exprimer la matrice diagonale de g dans la même base que f...
Est-ce que ça convient ?

Posté par Profil Timeare : endomorphismes commutants 16-01-17 à 10:58

Je ne comprends pas la 8...

Posté par Profil Timeare : endomorphismes commutants 16-01-17 à 11:31

dim(C(f)) = n mais comment représenter la base constituée de projecteurs ?
merci

Posté par
jsvdb
re : endomorphismes commutants 16-01-17 à 11:45

Bonjour Timea.
On suppose tout OK jusqu'à 3)a).
Alors, si x_1, ... x_n sont des vecteurs propres de f pris dans chaque SEP alors \{x_1, ... x_n \} est une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale.
Et il se trouve effectivement, que x_1, ... , x_n sont aussi des vecteurs propres de g. Donc cette même base de E fait que la matrice de g est diagonale.

Posté par
jsvdb
re : endomorphismes commutants 16-01-17 à 11:45

Timea @ 16-01-2017 à 10:58

Je ne comprends pas la 8...

Quelle 8 ?

Posté par Profil Timeare : endomorphismes commutants 16-01-17 à 12:01

Pardon ... la 4

Posté par Profil Timeare : endomorphismes commutants 16-01-17 à 12:14

merci pour ta réponse jsvdb !
donc on peut en déduire que les matrices des applications de C(f) sont des matrices diagonales. Mais comment je trouve une base de projecteurs.

Posté par
jsvdb
re : endomorphismes commutants 16-01-17 à 12:20

Pas exactement !
Mais que toutes les matrices de C(f) (ATTENTION : pour f supposé avoir n vp distinctes) sont toutes diagonalisables dans les mêmes bases que celles qui diagonalisent f.

Posté par Profil Timeare : endomorphismes commutants 16-01-17 à 12:30

donc (Id_E, f , f², ...,f^{n-1}) serait une base de projecteurs ?

Posté par Profil Timeare : endomorphismes commutants 16-01-17 à 12:31

enfin une base constituée de projecteurs...

Posté par Profil Timeare : endomorphismes commutants 16-01-17 à 12:35

j'avoue que je suis un peu perdue pour cette question... Je n'arrive pas à bien la comprendre...

Posté par Profil Timeare : endomorphismes commutants 16-01-17 à 12:36

Pour la suivante, je pense voir comment montrer que la famille est libre et donc connaissant la dimension de C(f) on en déduit que c'est une base...

Posté par
jsvdb
re : endomorphismes commutants 16-01-17 à 13:06

La dimension de C(f) = n, c'est évident.
Qu'est-qu'un projecteur ? C'est une application qui vérifie p² = p.
On demande donc une base B de projecteur de C(f).
En particulier, en vertu de la question précédente, tout élément p de ladite base va être diagonalisable dans la même base que f.
Donc si {x1, ... , x_n} est une base diagonalisante de f alors tout p de B va vérifier p(xi) = a.xi pour un certain a
Mais alors p(p(xi)) = p(xi) = a.p(xi) = a².xi = a.xi.
a ne peut donc prendre que les valeurs 0 ou 1.
Maintenant que tu connais l'action des éléments de B sur chacun des xi, je te laisse chercher la base {p1, ... , pn} de projecteurs qui conviendra.

Autrement dit si x E = ixi alors on prend pi(x) = ?

Tu vérifies alors :
- que les pi sont bien des projecteurs.
- qu'ils commutent avec f.
- qu'ils forment bien une base de C(f).

Posté par Profil Timeare : endomorphismes commutants 16-01-17 à 13:23

d'accord je comprends mieux. merci pour tes explications jsvdb ! ca m'aide beaucoup !



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