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Endomorphismes cycliques

Posté par
superjuju45 09-10-19 à 21:35

Bonjour, je bloque dans la première partie du problème suivant (à la troisième question) :
Dans tout le problème K désigne ou .
On dit que f est cyclique si et seulement si il existe un vecteur x0 dans E tel que (x0,f(x0), ... , fn-1(x0)) soit une base de E

Soit AMn(K).
Q1) Montrer que M et tM ont même spectre
Q2) Montrer que tM est diagonalisable si et seulement si M est diagonalisable.
Q3) Soit (a0,a1, ... , an-1)Kn et Q(X)=Xn+an-1Xn-1+ ... +a0. On considère la matrice

C_Q=\begin{pmatrix} 0 & ... &... &... & 0 & -a_0\\ 1 & 0 &... & ...&0 &-a_1\\ 0 &1 &. & &| & -a_2\\ | &. & . & .& | &| \\ |& & . & 1& 0&-a_{n-1} \\ 0& ... & ...& 0& 1 & -a_{n-2} \end{pmatrix}

Déterminer en fonction de Q le polynôme caractéristique de CQ.
Q4) Soit une valeur propre de tCQ. Déterminer la dimension et une base du sous-espace propre associé.
Q5) Montrer que f est cyclique si et seulement s'il existe une base B de E dans laquelle la matrice de f est de la forme CQ, où Q est un polynôme unitaire de degré n.
Q6) Soit f un endomorphisme cyclique. Montrer que f est diagonalisable si et seulement si f est scindé sur K et a toutes ses racines simples
Q7) Montrer que s i f est cyclique, alors (Id, f,f², ... , fn-1) est libre dans E et le polynôme minimal de f est de degré n.
Q8) Soit x un vecteur non nul de E. Montrer qu'il existe un entier p strictement positif tel que la famille (x,f(x), ... , fp-1(x)) soit libre et qu'il existe (0, ... , p-1)Kp tel que :
\alpha _0x+\alpha _1f(x) + ... +\alpha_{p-1}f^{p-1}(x)+f^{p}(x)=0
Q9)Justifier que Vect(x,f(x), ... , fp-1(x)) est stable par f.
Q10) Montrer que X^p+\alpha_{p-1}X^{p-1}+ ... + \alpha_0 divise f.
Q11) Démontrer que f(f) est l'endomorphisme nul

Pour la 1) :
J'ai tout simplement dit que \chi _{^{t}M}=\chi_M car le déterminant est égal au déterminant de la transposée.

Pour la 2) :

On suppose que M est diagonalisable donc,
M=PDP-1
tM=tP-1tDtP
tM=tP-1tD(tP-1)-1

Pour la 3) j'ai trouvé que :

en développant par rapport  la dernière colonne,
\chi_{C_Q}(X)=(-1)^{n+1}a_0+(-1)^{n+2}a_1X+ ... +(-1)^{2n}a_{n-1}X^n mais je ne vois pas comment l'exprimer en fonction de Q (et non seulement en fonction de ses coefficients)

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
larrechre : Endomorphismes cycliques 09-10-19 à 23:28

Bonsoir,

A mon avis, il vaudrait mieux faire une récurrence. Je pense qu'au signe près on doit retrouver Q, mais il est trop tard ce soir pour moi...

Posté par
perroquetre : Endomorphismes cycliques 10-10-19 à 00:17

Bonjour, superjuju45.

Tu as fait des erreurs de calcul. On doit trouver     \chi_{C_Q}(X)=\det(XI_n-C_Q)=Q(X).

Je connais trois méthodes pour calculer ce polynôme caractéristique.

La première consiste à développer par rapport à la dernière colonne, comme tu l'as fait. Il faut être très précis dans l'écriture des cofacteurs.

La deuxième consiste à raisonner par récurrence, comme l'a suggéré larrech.

La troisième consiste à remplacer la première ligne L_1 par    L_1+XL_2+X^2L_3+\ldots+X^{n-1}L_n. La nouvelle ligne ne comporte que des termes nuls sauf le dernier, qui est Q(X). On développe ensuite par rapport à la première ligne.

Posté par
superjuju45re : Endomorphismes cycliques 11-10-19 à 13:04

Ah ! Merci, du coup j'ai trouvé que \chi_{C_Q}(X)=(-1)^{n+1}Q(X) avec :

perroquet @ 10-10-2019 à 00:17


La troisième consiste à remplacer la première ligne L_1 par    L_1+XL_2+X^2L_3+\ldots+X^{n-1}L_n. La nouvelle ligne ne comporte que des termes nuls sauf le dernier, qui est Q(X). On développe ensuite par rapport à la première ligne.


Maintenant pour la 4)

J'ai dit que :
Soit X\in E_{^tC_Q}(\lambda) (sous espace propre associé à ),

tCQX=X

donc \left\lbrace\begin{matrix} x_2=\lambda x_1\\ x_3=\lambda x_2\\ |\\ |\\ |\\ x_n=\lambda x_{n-1}\\ - \sum_{k=0}^{n-1}{a_kx_{k+1}}=\lambda x_n \end{matrix}\right.,

mais on a aussi :

\chi_^tC_Q}(\lambda)=0
\chi_{C_Q}(\lambda)=0

donc Q(X)=(X-)R(X) avec deg(R)=n-1

Je pense que la réponse est dans le système mais je n'arrive à rien conclure.

Posté par
larrechre : Endomorphismes cycliques 11-10-19 à 14:03

Bonjour,

étant connue, si on choisit arbitrairement x1 non nul, alors x2, x3,...xn s'en déduisent, non ?

Posté par
larrechre : Endomorphismes cycliques 11-10-19 à 15:09

On oublie ...

Posté par
larrechre : Endomorphismes cycliques 11-10-19 à 18:17

Pourtant si, c'est bien ça. Le système a pour solution (x_1, \lambda x_1, \lambda^2 x_1, ...,\lambda^{n-1} x_1) ce me semble-t-il

Posté par
superjuju45re : Endomorphismes cycliques 12-10-19 à 14:14

Si on a :

larrech @ 11-10-2019 à 18:17

Le système a pour solution (x_1, \lambda x_1, \lambda^2 x_1, ...,\lambda^{n-1} x_1) ce me semble-t-il


toutes les coordonnées dépendent les une des autres donc,
dim(E_{^tC_Q}(\lambda))=1 et B=()

Si j'ai bien compris la question précédente (ce dont je doute), pour la 5) :

J'ai commencé par le sens réciproque qui me paraît plus simple, on suppose qu'il existe B de E dans laquelle la matrice de f est de la forme CQ, où Q est unitaire de dégré n,

et je me rend compte que ça m'arrangerait de dire que (x_1, \lambda x_1, ..., \lambda^{n-1}x_1)  est une base mais ça me paraît complètement absurde.
Je pense que j'ai du louper quelque chose.

Posté par
larrechre : Endomorphismes cycliques 12-10-19 à 14:38

Quand tu dis "B=()", je ne comprends pas, est un scalaire.

Par contre si e_i est le i-ème vecteur de la base canonique,  \sum_{i=1}^{n}{\lambda^{i-1}e_i} est un vecteur

Posté par
superjuju45re : Endomorphismes cycliques 12-10-19 à 14:53

Exact j'ai tout confondu. Je voulais dire B=(x1), cependant j'ai toujours la même incertitude pour la question 5).

Posté par
larrechre : Endomorphismes cycliques 12-10-19 à 15:29

x_ 1 aussi est un scalaire

Posté par
larrechre : Endomorphismes cycliques 12-10-19 à 15:50

Du moins dans les notations que tu as adoptées le 11-10-19 à 11h04

Posté par
superjuju45re : Endomorphismes cycliques 12-10-19 à 16:25

Ah, donc la base ce serait (ei) avec ei un vecteur quelconque du sous-espace propre ?

Posté par
larrechre : Endomorphismes cycliques 12-10-19 à 16:43

Oui, un vecteur non nul quelconque du sous-espace propre en est une base, puisque ce sous-espace est une droite vectorielle.

Mais attention aux notations. Traditionnellement e_i désigne un vecteur de la base canonique qui n'a aucune raison d'être la base cherchée. De plus dans l'exercice les x_i désignent des vecteurs.

Hier à 18h17, mes notations étaient foireuses. Un vecteur de E_\lambda a pour coordonnées (a, \lambda a, \lambda^2 a, ...,\lambda^{n-1} a), où a est un scalaire quelconque. Tu peux faire a=1 si tu veux un vecteur particulier (voir aujourd'hui 14h38)

Posté par
perroquetre : Endomorphismes cycliques 12-10-19 à 19:00

Bonjour, superjuju45.

Je pense que les explications de larrech pour la question 4 t'ont permis d'obtenir une base du sous-espace propre.
Je donne une indication pour la question 5. Tu as écrit

Citation :

Si j'ai bien compris la question précédente (ce dont je doute), pour la 5) :

J'ai commencé par le sens réciproque qui me paraît plus simple, on suppose qu'il existe B de E dans laquelle la matrice de f est de la forme CQ, où Q est unitaire de dégré n,


Le départ est correct, montre que cette base est de la forme (u_1,f(u_1),\ldots,f^{n-1}(u_1)).

Posté par
superjuju45re : Endomorphismes cycliques 12-10-19 à 20:35

Si tout est bond j'ai fait un bon de 3 questions :

pour la 5) :

En supposant qu'il existe B dans E tel que mat(f,B)=CQ avec Q unitaire de degré n.

On pose B=(\epsilon_1, \epsilon_2, ..., \epsilon_n), par définition de la matrice :
f(\epsilon_1)=\epsilon_2 ; f(\epsilon_2)=\epsilon_3, ... , f(\epsilon_n)=-\sum_{i=0}^{n-1}{a_if(\epsilon_i) donc \epsilon_2=f(\epsilon_1),\epsilon_3=f²(\epsilon_1),...,\epsilon_n=f^{n-1}(\epsilon_1) et f est cyclique

Réciproquement si f est cyclique :

dans la "base de cyclicité" : on a les "1" qu'on cherche dans mat(f,B) parce que f(x_0)=f(x_0), f(f(x_0))=f²(x_0) etc. et f est un endomorphisme de E donc f^n(x_0)=f(f^{n-1}(x_0)) \in E donc il existe (\lambda_i)_{i\in [[1;n-1]]} tq f^n(x_0)=\sum_{i=0}^{n-1}{\lambda_if^i(x_0)}
on pose i[[0;n-1]] \alpha_i=-\lambda_i et on a notre CQ.

Pour la 6) :

On a la réciproque par théorème.

Pour le sens direct si f est cyclique, alors il existe B tq mat(f,B)=CQ
On suppose maintenant que f est diagonalisable.
donc f est scindé et Sp(f), OM()=dim(Ef()) (OM est l'ordre de multiplicité de dans f)
or \chi_{^tC_Q}=\chi_{C_Q} et par la question 4) Sp(tCQ), dim(E_{^tC_Q})=1
donc \chi_{^tC_Q} est scindé à racines simples il en est donc de même pour \chi_{C_Q}

Pour la 7) :

Soit \lambda_0, \lambda_1, ..., \lambda_{n-1} tq \sum_{i=0}^{n-1}{\lambda_i f^i(x)}=0,
xE,
\sum_{i=0}^{n-1}{\lambda_i f^i(x)}=0
en particulier,
\sum_{i=0}^{n-1}{\lambda_i f^i(x_0)}=0
or (x_0, f(x_0), ..., f^{n-1}(x_0)) est une base (donc une famille libre)
donc \lambda_0=\lambda_1= ... = \lambda_{n-1}=0

Maitenant je bloque sur la 8) :

J'ai remarqué que \alpha_{p-1}f^{p-1}(x)+f^p(x)=f^{p-1}(\alpha_{p-1}x+f(x))
mais  je ne sais pas si ça sert.

Posté par
superjuju45re : Endomorphismes cycliques 12-10-19 à 20:41

*Si tout est bon j'ai fait un bond de 3 questions

Posté par
ThierryPomare : Endomorphismes cycliques 12-10-19 à 20:44

Bonsoir,

Une petite erreur à signaler dans ton énoncé :

On dit que f est cyclique si et seulement si il existe un vecteur x0 non nul dans E tel que (x0,f(x0), ... , fn-1(x0)) soit une base de E.

Posté par
perroquetre : Endomorphismes cycliques 12-10-19 à 21:35

Questions 5,6,7:  OK.

Question 8, une indication:
\{ k\in \mathbb N^* \ | \ (x,f(x),\ldots,f^{k-1}(x) {\rm libre}\} est une partie non vide de \mathbb N, majorée par n (dimension de E). Elle admet un plus grand élément p ...

Posté par
superjuju45re : Endomorphismes cycliques 13-10-19 à 10:00

En fait, j'avais oublié la première partie de la question (j'essayais de montrer la deuxième partie en admettant la première partie).

Du coup, il ne suffit pas de dire que B=(x) (p=1) est libre (\sum_{i=1}^{1}{x}=0\Rightarrow x=0) ?
Pour la deuxième partie, j'ai trouvé un autre point de vue : il faut montrer que
f^p(x)\in Vect(x, f(x), ...., f^{p-1}(x)) (mais je n'arrive toujours pas à le montrer).

Posté par
larrechre : Endomorphismes cycliques 13-10-19 à 13:04

S'il ne lui appartient pas...

Posté par
perroquetre : Endomorphismes cycliques 13-10-19 à 16:15

@superjuju45

Citation :

Du coup, il ne suffit pas de dire que B=(x) (p=1) est libre   (\sum_{i=1}^{1}{x}=0\Rightarrow x=0) ?


Non, il faut choisir p maximal. Sinon, on ne pourra pas écrire que   (x,f(x),\ldots,f^p(x)) est liée.

Citation :

Pour la deuxième partie, j'ai trouvé un autre point de vue : il faut montrer que
f^p(x)\in Vect(x, f(x), ...., f^{p-1}(x)) (mais je n'arrive toujours pas à le montrer).


(x,f(x),\dots,f^p(x)) est liée et (x,f(x),\ldots,f^{p-1}(x)) est libre donc ...

Posté par
superjuju45re : Endomorphismes cycliques 13-10-19 à 18:30

Ah ! je crois que j'ai :

perroquet @ 12-10-2019 à 21:35


\{ k\in \mathbb N^* \ | \ (x,f(x),\ldots,f^{k-1}(x) {\rm libre}\} est une partie non vide de \mathbb N, majorée par n (dimension de E). Elle admet un plus grand élément p ...

On pose p=max\left\{k\in N*|(x,f(x), ..., f^k(x)libre\right\}
et,
perroquet @ 13-10-2019 à 16:15


(x,f(x),\dots,f^p(x)) est liée et (x,f(x),\ldots,f^{p-1}(x)) est libre donc ...
donc fp est combinaison linéaire des autres vecteurs.

Posté par
superjuju45re : Endomorphismes cycliques 13-10-19 à 19:15

Ensuite je me suis penché sur la deuxième partie où je bloque sur quelques questions :

Q12) On suppose que f est un endomorphisme nilpotent de E. On note r le plus petit entier naturel tel que fr=0.
Montrer que f est cyclique si et seulement si r=n. Préciser alors la matrice compagnon.

Dans le reste de cette partie, on suppose K=.
On suppose que (Id,f,f², ..., f^{n-1}) est libre et on se propose de montrer que f est cyclique.
On factorise le polynôme caractéristique de f sous la forme
\chi_f(X)=\prod_{k=1}^{n}{(X-\lambda_k)^{m_k}}
où les k sont les p valeurs propres deux à deux distinctes de f et les mk de * leurs ordres de multiplicité respectifs.

Pour k\in [[1;p]], on pose F_k=ker((f-\lambda_kId_E)^{m_k})

Q13) Montrer que les sous-espaces vectoriels de Fk sont stables par f et que E=F_1\oplus ...\oplus F_p.

Pour k\in [[1;p]], on note k l'endomorphisme induit par f-Id sur le sous-espace vectoriel Fk,

\varphi_k : \left|\begin{matrix} F_k\rightarrow F_k\\ x\vdash >f(x)-\lambda_kx \end{matrix}
Q14) Justifier que k est un endomorphisme nilpotent de Fk.
On note k le plus petit entier naturel tel que \varphi_k^{\nu_k}=0

Q15) Pourquoi a-t-on \nu_k\leq dim(F_k) ?

Q16) Montrer avec l'hypothèse proposée que, pour tout k\in [[1;p]], on a \nu_k=m_k

Q17) Expliciter la dimension de Fk pour k\in [[1;p]], puis en déduire l'existence d'une base B=(u_1, ..., u_n) de E dans laquelle f a une matrice diagonales par blocs, ces blocs appartenant à M_{m_k}(C) et étant de la forme
\begin{pmatrix} \lambda_k &0 & . &. & . & 0\\ 1&\lambda_k & .& & & .\\ 0& 1 &\lambda_k & . & &. \\ .& . & . &.& . & .\\ .& & . & .& .&0 \\ 0& . & . & 0 & 1 & \lambda_k \end{pmatrix}

On pose x_0=u_1+u_{m_1+1}+ ... +u_{m_1+ ... +m_{p-1}+1}
Q18) Déterminer les polynômes Q\in C[X] tels que Q(f)(x_0)=0.

Q19) Justifier que f est cyclique.

Pour la 12 :

Dans le sens direct,

f est nilpotent, donc par théorème \chi_f(X)=X^n
Par Cayley-Hamilton f^n=0_{L(E)}
et nf^{n-1}\neq 0_{L(E)}
sinon (x_0, f(x_0), ... , f^{n-1}(x_0)) serait liée.

Pour le sens réciproque, j'ai écrit :

r=n\Leftrightarrow f^n=0 et f^{n-1}\neq 0
Mat(f)n=0 et Mat(f)n-10

Mais je ne vois pas bien où ça me mène.

Posté par
perroquetre : Endomorphismes cycliques 13-10-19 à 19:29

Cette réciproque est un très grand classique.

Puisque  f^{n-1}\neq 0, il existe x_0\in E tel que f^{n-1}(x_0)\neq 0. On montre ensuite que  (x_0,f(x_0),\ldots,f^{n-1}(x_0)) est une base de E.

Posté par
superjuju45re : Endomorphismes cycliques 13-10-19 à 20:05

On peut peut-être dire :

i[[1;n-1]], fi(x0)E,
donc, soit xE il existe \lambda_1, ... , \lambda_{n-1}\in K tels que :
x=\sum_{i=0}^{n-1}{\lambda_i f^i(x_0)}
donc (x_0, f(x_0), ..., f^{n-1}(x_0})) est génératrice donc comme elle est de dimension n c'est une base de E ?

Posté par
perroquetre : Endomorphismes cycliques 13-10-19 à 20:49

Démonstration non valable (elle suppose que la famille est génératrice).
Pour démontrer qu'une famille de n vecteurs est une base de E, on démontre en général qu'elle a un cardinal égal à la dimension de E et que c'est une famille libre de E.

Posté par
superjuju45re : Endomorphismes cycliques 13-10-19 à 21:02

Du coup je pose :

\sum_{i=0}^{n-1}{\lambda_i f^i(x_0)}=0 (pour montrer que les i sont nuls)
éventuellement \sum_{i=0}^{n-1}{ f^i(\lambda_i x_0)}=0

mais je vais pas très loin, j'ai du louper une condition implicite ou une astuce quelque part.

Posté par
perroquetre : Endomorphismes cycliques 13-10-19 à 21:06

Composer l'égalité par f^{n-1}  (sachant que  f^n(x_0)=0)

Posté par
superjuju45re : Endomorphismes cycliques 13-10-19 à 21:37

C'est bon j'ai compris :

on montrer scalaire par scalaire qu'ils sont tous nuls. Merci beaucoup pour ton aide, merci aussi à larrech (si il revient sur ce sujet)

Posté par
larrechre : Endomorphismes cycliques 14-10-19 à 08:47

De rien

Posté par
Elevemp1re : Endomorphismes cycliques 14-10-19 à 12:14

Sinon @superjuju45, ne pourrai tu pas demandé à notre professeur pour qu'il t'aide sur certains point, car de l'extérieur tes demandes sur le forum ressemble plus à du backseat (voir une sorte de triche) qu'à un travail personnel (qui est le but d'un dm).
Sur ce bonne chance pour ce dm.


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