Entre temps j'ai pensé à une démonstration : (je l'avoue je m'inspire fortement d'une des démonstrations du cours de mon prof )

Alors je raisonne avec les matrices. Soient A,B deux matrices carrées de M_n(). Comme ça on est dans et en dimension finie : pas de soucis. Et je suppose bien sûr AB=BA.

Puisqu'on est dans , A est trigonalisable (car son polynôme caractéristique est scindé), et en particulier admet au moins une valeur propre. J'appelle cette valeur propre.
Je montre que Ker(A-I) est stable par B (I est la matrice identité):
X Ker(A-I) AX=X ABX=BAX=BX=BX
Donc BXKer(A-I).
Ker(A-I) est donc stable par B, ce qui induit alors un endomorphisme sur Ker(A-I). Cet endomorphisme admet (pour la même raison que plus haut) au moins un vecteur propre, que l'on appelle X, associé à la valeur propre .
Ainsi on a : BX=X
Or XKer(A-I) donc AX=X.
X est donc un vecteur propre commun à A et B.

Maintenant montrons par récurrence la propriété suivante : "Toutes matrices A et B de taille n telles que AB=BA sont cotrigonalisables"

Initialisation : Trivial pour la taille 1

Hypothèse de récurrence. Soit n. On suppose la propriété vraie au rang n.
Soient A,B de taille (n+1) telles que AB=BA. D'après ce qu'on a montré plus haut, il existe un vecteur propre X commun à A et B. D'après le théorème de la base incomplète, on obtient une base (X,e₁,...e_n) de ⁿ⁺¹.
Dans cette base, A et B sont semblables à :
et
Or AB=BA. Donc en faisant un calcul par blocs on arrive à :
=
Donc A'B'=B'A', or ces matrices sont de taille n, donc par hypothèse de récurrence elles sont cotrigonalisables.
Il existe donc une matrice P inversible telle que A'=PTP^-1 et B'=PT'T^-1
Notons : Q = et Q^-1=
Alors on se rend compte, par calcul par blocs, que P^-1AP et P^-1BP sont des matrices triangulaires supérieures.
Par principe de récurrence on démontre la propriété voulue.

Merci si vous êtes assez gentil pour lire cela et me dire si vous voyez une erreur quelque part. Les concours approchent et j'aimerais être sûr d'avoir compris ce chapitre qui n'est pas des plus faciles je trouve.

Personne ?

Soit un espace vectoriel de dimension . Que penser de (matrice identité ) et une matrice dont le polynôme caractéristique serait ? n'est pas trigonalisable et pourtant

Salut.

Alors déjà merci de m'avoir répondu. Par contre je crois qu'il y a un malentendu. J'ai bien précisé :

Citation :
Bien sûr si on est dans alors on ne se pose la question que si u et v sont trigonalisables (toujours vrai dans ).

de rien
et bien moi j'ai une autre précision,

Citation :
Bien sûr si on est dans alors on ne se pose la question que si u et v sont trigonalisables (toujours vrai dans ).

Hum. Je n'ai jamais dit "toujours vrai dans " O_o'

Mais sinon je crois qu'on s'est mal compris.

Ce que je veux montrer, c'est que si AB=BA et que A et B sont trigonalisables, alors il sont tous les deux cotrigonalisables (=il existe une même base dans laquelle A et B s'écrivent comme une matrice triangulaire supérieure).

Un contre-exemple serait donc de montrer qu'il existe AB=BA, A et B trigonalisables tel que aucune base commune ne trigonalise les deux. Donc partir de A et B avec B non trigonalisable ne m'intéresse pas.

ok cher william
donc sois plus compréhensible la prochaine fois
implique quoi ??
Avec cette condition, et trigonalisable te permet de dire quoi ??
Vive Euler,
Xto

Eh bien AB=BA implique que les sous-espaces propres de A sont stables par B et inversement. Et A et B trigonalisable permet de dire qu'ils partagent donc au moins un vecteur propre. Et après il en découle la démonstration que je propose plus haut. Sinon je ne vois pas quoi dire de plus.