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Niveau terminale
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engime polynome

Posté par
leawz
20-10-21 à 15:38

bonjour, pourriez vous m'aider pour cette énigme je suis bloquée svp

A,B,C,D... sont les sommets consécutifs d'un polygone régulier de n cotés. on sait que \frac{1}{AD}=\frac{1}{AG}+\frac{1}{AJ}

determiner la valeur de n

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 20-10-21 à 16:02

Bonjour,

faire un dessin de principe
un polygone régulier est inscriptible dans un cercle, de centre
quel est l'angle au centre AB en fonction de n ?
quel est l'angle au centre AD ?
quelle est la mesure de AD en fonction de n, si on prend comme mesure arbitraire du rayon 1
(ou on peut aussi écrire R, de toute façon R s'élimine à la fin)

etc

nota : ne pas confondre polyGONE et polyNOME

Posté par
leawz
re : engime polynome 20-10-21 à 16:18

Merci pour votre réponse.

D'abord on a l'angle ab qui vaut 360/n puis celui ad qui vaut 360/3n il me semble. Par contre pour la longueur ad, je ne vois pas trop… on peut se placer dans le triangle ad et si le rayon vaut 1 alors a et d aussi. Mais je ne vois pas comment faire après, il ne me semble pas que le triangle soit rectangle donc on ne peut ni utiliser Pythagore ni la trigonométrie avec cah soh toa. Je n'ai pas d'autre idée

Posté par
LeHibou
re : engime polynome 20-10-21 à 17:24

Bonsoir,

Pour ma culture, c'est quoi "la trigonométrie avec cah soh toa" ???

Posté par
littleguy
re : engime polynome 20-10-21 à 17:33

Bonjour LeHibou

Je me suis posé la même question, sans doute : CosinusAdajacentHypoténuse, etc.

Posté par
leawz
re : engime polynome 20-10-21 à 17:41

bonjour, c'est cela oui.
toutes mes excuses je ne savais pas comment la nommer...

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 20-10-21 à 17:51

l'angle AD est le triple de l'angle AB

pas le tiers !
donc 3*360/n et pas 360/3n

si on trace la hauteur P issue de , elle est en même temps bissectrice, et donc

AD = 2AP = ...

engime polynome

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 20-10-21 à 17:53

** bissectrice et médiane et médiatrice

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 20-10-21 à 18:05

PS;
je dois quitter, retour en soirée
ou les autres intervenants peuvent poursuivre en attendant

nota : il peut être intéressant de prendre comme inconnue auxiliaire l'angle x = AP car alors on n'a que des multiples simples de x dans les calculs :
x, 2x et 3x
ça simplifie de beaucoup l'écriture.

une fois l'équation (trigonométrique) en l'inconnue x résolue, on pourra en déduire n.

Posté par
carpediem
re : engime polynome 20-10-21 à 18:47

salut

merci à mathafou pour sa figure

en posant a = \widehat{A \Omega D} = 3 \dfrac {360} n

alors :

\vec {AD} \cdot \vec {AG} = AD \cdot AG \cos ...

\vec {AD} \cdot \vec {AG} = \vec {AD} \cdot \left( \vec {AD} + \vec {DG} \right) = AD^2(1 + \cos ...)

de même \vec {AD} \cdot \vec {AJ} = AD \cdot AJ \cos ...

et \vec {AD} \cdot \vec {AJ} = \vec {AD} \cdot \left( \vec {AD} + \vec {DG} + \vec {GJ} \right) = AD^2(1 + \cos ... + \cos ...)

à toi de déterminer les arguments des cos sachant qu'on a des triangles isocèles d'angle au sommet a, que l'angle au centre est le double de l'angle inscrit, que ...

on peut alors en déduire AG et AJ en fonction de AD et de cos de (sous)multiples de a et qu'on injecte dans l'égalité de départ ...

je ne sais pas si ça roule ensuite ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 08:33

Bonjour carpediem

avec le sinus de x = AP = 3/n comme je le propose, le départ (la mise en équation) est bien plus simple

après (pour résoudre l'équation trigo obtenue) ça aboutit assez vite, à condition de connaitre ses formules de trigo "avancées" :
transformations de sommes et de produits de sinus ou de cosinus
sin a * sin b = ...
cos a + cos b = ...
etc

je n'ai pas essayé avec les cosinus comme tu le proposes, ça me semble plus compliqué au départ (même si par la suite on peut espérer que ça se simplifiera vers une équation semblable)

Posté par
carpediem
re : engime polynome 21-10-21 à 10:05

salut mathafou : je t'avoue que je n'ai pas pensé à des sinus car je ne voyais pas où tu voulais aller

bien d'accord qu'on va arriver donc à une équation trigonométrique et effectivement la mienne semple "compliquée" à priori même si comme toi je pense qu'elle va se simplifier "aisément" ... mais je t'avoue encore que je n'ai pas été plus loin que ce que j'ai proposé ...

c'est ta figure qui m'a permis de voir les choses et de proposer ce que j'ai proposé, voyant trois triangles identiques et donc de nombreuses longueurs égales ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 10:52

avec une culture encyclopédique sur les énigmes et curiosités mathématiques, on connait les propriétés bien (mé)connues d'un certain polygone P et de ses diagonales.
il s'agit ici de prouver la réciproque. (que si un polygone a cette propriété là alors c'est nécessairement le polygone P "curieux" en question)

pour découvrir ça et si on rechigne à effectuer les calculs trigo précédemment cités on peut faire comme j'ai fait pour découvrir la propriété magique que j'ignorais (et donc d'autres par la même occasion) :

effectuer une simulation Geogebra pour obtenir une conjecture (une valeur approchée)
alors en googlant le nom de ce polygone conjecturé on tombe sur une page qui énonce la propriété directe (et sa démonstration)

reste plus qu'à prouver la réciproque et c'est fini
en juste une petite poignée de lignes et sans trigo du tout

mais on verra ça plus tard

sinon , c'est l'équation trigo comme commencé ci dessus.
au moins que le "lycéen curieux" fasse la mise en équation , (niveau collège "cah soh toa")

à défaut de résoudre cette équation
niveau Terminale+ vu l'absence en cours des relations trigo citées sur les transformations de sommes et de produits de fonctions trigo

je donne le coup de pouce :
sin(a) sin(b) = (cos(a-b) - cos(a+b))/2
et
cos(a) + cos(b) = 2 cos((a+b)/2) cos((a-b)/2)

c'est ce que j'ai utilisé dans ma résolution trigo pour aboutir à des cos(kx) =cos(a) classiques, qu'il faut encore savoir résoudre correctement (mais ça c'est du cours)

Posté par
carpediem
re : engime polynome 21-10-21 à 12:28

alors ayant encore du boulot et des copies ... j'attendrai patiemment que tu nous donnes les liens adéquats !!!

(ou peut-être m'y remettrai-je pendant les vacances ...)

merci par avance !!

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 12:55

le calcul trigo est tout fait faisable
sans liens (ni astuces diaboliques), sauf peut être celui de l'ile que j'ai fini par retrouver sur les formules de trigo "++" :

Savoir utiliser le cercle trigonométrique et formules de trigonométrie
(chapitre "autres formules", sin a sin b et cos p + cos q )

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 13:42

Bonjour,

Citation :
le calcul trigo est tout fait faisable
Je confirme
Et j'attends aussi les liens que je n'est pas réussis à débusquer (même avec la dénomination du polygone obtenu).

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 14:16

bonjour Sylvieg,
moi si je google
diagonales (le nom du polygone)
le premier lien après "l'extrait optimisé" est le bon.

à condition de prendre le bon polygone bien sur, car le problème se simplifie en un polygone plus petit, vu qu'on prend un sommet sur 3

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 15:02

Merci pour ta réponse mathafou.
Effectivement, je cherchais avec trop de côtés...
Mais même avec le bon nombre de côtés, je trouve la propriété ; mais rien de simple comme démonstration.
Je patiente donc.
Attendons que leawz se manifeste.

Et je corrige ma faute d'orthographe :
"les liens que je n'ai pas réussis à débusquer"

Posté par
larrech
re : engime polynome 21-10-21 à 15:10

Bonjour Sylvieg

Et tant qu'à faire, personnellement je ne mettrais pas d's à "réussi" dans cette tournure, mais ce n'est que mon avis...

Posté par
lake
re : engime polynome 21-10-21 à 15:11

Bonjour à tous,

J'ai du m'y prendre comme un pied :

  Je trouve que \cos\,\dfrac{3\pi}{n} est solution de l'équation :

   8x^3-4x^2-4x+1=0

  qui donne bien le bon résultat au prix de quelques contorsions ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 15:17

Bonjour larrech,
Et dans "les fautes que je n'ai pas faites" ?

Posté par
larrech
re : engime polynome 21-10-21 à 15:23

Et dans " les alouettes que je n'ai pas réussies à attraper" ?

mais bon, j'ai sans doute tort...

Posté par
larrech
re : engime polynome 21-10-21 à 15:29

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 15:59

Je vais finir par me laisser convaincre
A cause du "à" derrière ?

Posté par
littleguy
re : engime polynome 21-10-21 à 16:07

Bonjour,
Juste un avis et je vous laisse.
Je n'ai pas réussi quoi ? Les alouettes ou à débusquer les alouettes ?

Posté par
carpediem
re : engime polynome 21-10-21 à 16:09

on reconnait là le maitre cruciverbiste de

Posté par
lake
re : engime polynome 21-10-21 à 16:37

ou verbicruciste ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 16:53

lake @ 21-10-2021 à 15:11


8x^3-4x^2-4x+1=0

c'est fort possible, va savoir
moi je suis resté entièrement en trigo
parce que une équation de degré 3 ... vaut mieux la résoudre par la trigo si on veut une "valeur exacte" et éviter des trucs affreux à la Cardan.

en tout cas ça montre que la figure n'est pas constructible à la règle et au compas.

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 17:16

Citation :
au moins que le "lycéen curieux" fasse la mise en équation , (niveau collège "cah soh toa")

à défaut de résoudre cette équation

c'est dommage que leawz reste muet parce que sans réaction de sa part la discussion risque de rester coincée là.

Posté par
leawz
re : engime polynome 21-10-21 à 19:16

bonjour tout le monde et merci pour vos message.
je suis désolée je n'avais pas vu vos messages...
si l'on reprend à
AD=2AP=\frac{2}{sin(\frac{3*360}{2n})}
car sin (\frac{AD}{2})= \frac{A\Omega }{AP}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 19:21

J'ai fini par trouver la solution sans trigonométrie
Pour aider ceux que ça intéresse sans tout dévoiler, j'ai utilisé un théorème sur les diagonales d'un quadrilatère inscrit dans un cercle.

Posté par
leawz
re : engime polynome 21-10-21 à 19:23

ensuite AG+AJ=2AV+2W=\frac{2}{sin(\frac{6.360}{2n})}+ \frac{2}{sin(\frac{9.360}{2n})}

Posté par
leawz
re : engime polynome 21-10-21 à 19:24

avec V et W les hauteurs issuent du centre

Posté par
leawz
re : engime polynome 21-10-21 à 19:27

donc on aboutit à cette équation trigonométrique mais je ne sais pas commet la résoudre pour le coup

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 19:52

comme deja signalé plutôt que de trainer des \dfrac{3*360}{2n} à tour de bras, écrire ça juste x ...
soit x l'angle AP

AD=2AP=\dfrac{2}{sin(x) }
et ça reste écrit comme ça pour l'instant

seulement tout à la fin de la fin quand on aura résolu cette équation en l'inconnue x, alors seulement on calculera n à partir de x = \dfrac{3*360}{2n}
c'est à dire n =\dfrac{3*180}{x}

l'équation à résoudre est donc après simplifications

1/sin(x) = 1/sin(2x) + 1/sin(3x)

réduire au même dénominateur, inverse , produit en croix,
puis formules de produit et de somme déja mentionnées :
sin(a)sin(b)= ... et cos(a)+cos(b) = ... etc etc

nota : les "notification" de l'ile en cas de nouveau message sont aléatoires, il vaut mieux aller directement regarder sa discussion de temps en temps...
surtout que la présence de nouveaux messages est marquée dans la liste des discussions (par un "+" dans l'icone)

@Sylvieg
oui, c'est ce qui est donné dans la page que tu as du trouver, et

Citation :
on tombe sur une page qui énonce la propriété directe (et sa démonstration)
reste plus qu'à prouver la réciproque et c'est fini


PS et le LaTeX aussi semble aléatoire, ma deuxième formule n'est jamais traduite dans aucun des nombreux aperçus que j'ai fait de ce message ..

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 19:57

PPS
je dois quitter (chorale) retour en fin de soirée

Posté par
leawz
re : engime polynome 21-10-21 à 20:14

d'accord donc on a \frac{1}{sin(x)}=\frac{1}{sin(2x)}+\frac{1}{sin(3x)} 
 \\ \frac{1}{sin(x)}=\frac{sin(3x)+sin(2x)}{sin(3x)sin(2x)} 
 \\ sin(3x)sin(2x)=sin(3x)sin(x)+sin(2x)sin(x)
cos(-x)-cos(5x)=cos(-2x)-cos(4x)+cos(x)-cos(3x)

ensuite que je doute qu'il faut utiliser la formule sur cos a +cos b mais quand je l'applique je ne trouve rien qui me permette d'aboutir à un résultat...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 20:47

Bonsoir leawz,
En attendant le retour de mathafou (bravo pour la chorale ) :
Tu sais sans doute que la fonction cosinus est paire.
Ça permet de se débarrasser des - dans les parenthèses.
Puis transpose tout du même côté.

Posté par
leawz
re : engime polynome 21-10-21 à 20:50

bon, après réflexion j'ai réussi à aboutir à
-2sin(0)sin(-x)-2cos(\frac{3x}{2})cos(\frac{7x}{2})+2cos(\frac{7x}{2})cos(\frac{x}{2})=0
puis cos(\frac{7x}{2})(cos(\frac{x}{2})-cos(\frac{3x}{2}))=0
donc soit
cos(\frac{7x}{2})=0 
 \\ soit 
 \\ cos(\frac{x}{2})-cos(\frac{3x}{2})=0
ce qui nous donne
x=/7+2k/7
ou x=k

Posté par
leawz
re : engime polynome 21-10-21 à 20:51

bonsoir Sylvieg,
je n'avais pas lu votre message. ce que j'ai fait vous semble t-il correct ?

Posté par
leawz
re : engime polynome 21-10-21 à 21:11

le problème étant que pour n on ne trouve pas de valeur entière, mais une infinité de valeurs tous décimales il me semble...

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 21-10-21 à 23:26

euh .. tu dois confondre multiplier et diviser par 3 ...

x = pi/7 = 3pi/n

donne : n = 3*7 = 21

les autres "solutions" aboutissent soit à des cotés nuls soit des polygones étoilés (qui font plusieurs tours avant de se refermer etc

Posté par
leawz
re : engime polynome 22-10-21 à 08:57

Je n'ai pas bien suivi…
Quand on a introduit x on a poser
x=3*360/2n et si on simplifie x=540/n
Donc /7=540/n
Ce qui donne n=3780/
Voilà la manière dont j'ai raisonné, je ne comprends pas l'erreur…

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : engime polynome 22-10-21 à 09:33

Je réponds en l'absence de mathafou :
Tu mélanges degrés et radians.
Soit tu poses x = 540/n et, à la fin tu remplaces par 180 dans /7 = 540/n.
Soit tu mets du partout comme dans le message de 23h26.

3780/180 = ?

Posté par
leawz
re : engime polynome 22-10-21 à 09:39

Oh mais oui bien sur!! J'avais oublié cela, j'ai compris maintenant, merci beaucoup!

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 22-10-21 à 10:12

Bien,

ma figure pour une démonstration sans trigo :

engime polynome

en fait les points intermédiaires sans nom ne servent à rien, la propriété est celle d'un heptagone ADGJM...

en gras les segments AD, AG, AJ de l'énoncé
dont j'appelle les mesures a, b, c pour simplifier l'écriture
ces segment se retrouvent aussi ailleurs dans le polygone régulier
ainsi AD = DG = a, AG = GM = b et AJ = DM = c
quel que soit le nombre de côtés inconnu pour l'instant

par contre AM va dépendre du nombre de côtés et étant inconnu pour l'instant j'appelle sa mesure d.

le polygone étant régulier, il s'inscrit dans un cercle
ainsi le quadrilatère ADGM est inscrit dans un cercle

un théorème connu , théorème de Ptolémée, annonce
un quadrilatère est inscriptible dans un cercle si et seulement si la somme des produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales

c'est à dire ici
AD.GM + DG.AM = AG.DM

utiliser cette propriété générale pour obtenir une relation entre a,b,c,d
en la comparant avec 1/a = 1/b + 1/c de l'énoncé
cela permet de trouver la mesure de d en fonction de a, b, c
et donc la vraie position de M
on en déduit que M est sur la médiatrice de AB et donc que 7 = 180°
et la conclusion.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : engime polynome 22-10-21 à 11:26


Une remarque :
La démonstration du théorème de Ptolémée ne fait appel qu'à ces notions :
Angles inscrits et triangles semblables.

Posté par
mathafou Moderateur
re : engime polynome 22-10-21 à 11:44

l'idée de ma démonstration m'a été, comme déja signalé, inspirée par la page villemin.gerard.free.fr

Citation :
Théorème
Dans un heptagone régulier l'inverse (de la mesure) du côté vaut la somme des inverses des deux types de diagonales.


ici il s'agit de prouver la réciproque :
si dans un polygone régulier 1/a = 1/b+1/c (coté et deux premières diagonales) alors ce polygone est un heptagone.

nota :
dans ma figure on a GJ = a
le triangle AGJ est appelé triangle heptagonal
ses côtés a, b, c vérifient donc 1/a = 1/b + 1/c
googler pour avoir d'autres propriétés
en particulier en multipliant tout ça par l'aire du triangle et en simplifiant :
une hauteur est égale à la somme des deux autres
ha = hb+hc

Posté par
lake
re : engime polynome 22-10-21 à 12:56

Bonjour,

Je reviens sur ceci :

  

Citation :
Je trouve que \cos\,\dfrac{3\pi}{n} est solution de l'équation :

   8x^3-4x^2-4x+1=0


On peut prouver que les 3 solutions (réelles) de cette équation sont : \cos\,\dfrac{\pi}{7},\,\cos\,\dfrac{3\pi}{7},\,\cos\,\dfrac{5\pi}{7}.
Ces 3 arcs vérifient 7\theta=(2k+1)\pi

  Donc \cos\,4\theta=-\,\cos\,3\theta et avec x=\cos\,\theta :

     2(2x^2-1)^2-1=-(4x^3-3x)

     8x^4+4x^3-8x^2-3x+1=0

     (x+1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0

L'arc \dfrac{\pi}{7} correspond au polygone de 21 côtés d'angle au centre de base \dfrac{2\pi}{21}

Comme déjà signalé par mathafou, les autres correspondent à des polygones étoilés.
Par exemple \dfrac{5\pi}{7} donne un angle de base de \dfrac{10\pi}{21}.

L'ordre des termes de la relation de départ est modifié :

  engime polynome

Posté par
lake
re : engime polynome 22-10-21 à 13:41

A vrai dire, \dfrac{3\pi}{7} correspond à l'heptagone : un cas "dégénéré".

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