Bonjour à tous !
Je travaille sur un petit exo de probabilités pour remettre le cerveau en jambes avant la rentrée et je doute un peu sur celui-ci, je vous donne l'énoncé ainsi que ma recherche :

énoncé:

4 fourmis se tiennent aux 4 coins d'un carré. Elles ne peuvent se déplacer que sur les côtés de ce rectangle. Ainsi, à partir du coin A, une fourmi peut atteindre les coins B et D. À chaque pas de temps, chaque fourmi se déplace vers un autre coin du carré. Au début, les fourmis choisissent une direction au hasard (par exemple A->D, B->A, C->D, D->C). Après avoir commencé à se déplacer, elles continueront à se déplacer dans la même direction avec 70 % de chances, et la probabilité qu'elles fassent demi-tour est de 30 %. Quelle est la probabilité qu'aucune fourmi ne se soit rencontrée après :
a) 1 déplacement
b) 3 déplacements

ma réflexion:

a) On dénombre 16 cas possibles ( car chaque fourmi peut prendre 2 directions)

Or, les deux seuls cas où aucune ne se croise sont ceux où elles choisissent toujours la même direction: toutes à gauche, ou toutes à droite. Donc 2 cas sur 16, d'où probabilité de .

b) C'est ici que ça se corse !
Mon intuition est que les fourmis doivent toujours aller dans le même sens, soit à gauche soit à droite. On a deux cas:
Auparavant, les fourmis se sont déplacées à gauche (auquel cas la probabilité d'aller à gauche est 0.7), soit elles se sont déplacées à droite (auquel cas la probabilité d'aller à droite est 0.7).

Par symétrie, j'aurais donc dit que la probabilité qu'elles ne se croisent pas au deuxième tour est ce qui donne 0.4964. Qu'en pensez-vous ?

Et donc, la probabilité au 3ème tour serait également 0.4964.
La probabilité qu'elles ne se croisent jamais en 3 tours serait donc:



Je ne suis pas sûr du tout du raisonnement, même si c'est ce qui me semble le mieux. Je suis tout ouïe de votre avis, merci d'avance !