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Ensemble C[0,1] dans R
Bonjour,
L'énoncé :
Soit C[0,1] l'ensemble des application continues de [0,1] dans R.
1)Montrer que d1(f,g)=supx
[0,1] définit une distance sur C[0,1].
2)Déterminer pour quel rayon r la fonction f(x) = 2x + 1/2
est un élément de la boule ouverte de rayon r autour de g(x)=x2
3)Enfin, est ce que l'ensemble H={fC[0,1] / 1/2
f(x)1} est un ouvert dans la topologie déterminée par la distance ?
Répéter les mêmes question avec d2(f,g)=
Mon travail :
1) On vérifie facilement les trois axiomes
2) Pour d1 :
On pose h(x) = f(x) - g(x), on obtient par calcul , h'(x) = -2x +2 > 0 sur [0,1] donc h est strictement croissante et positive car h(0)=1/2 on peut enlever les valeurs absolues, donc le maximum est atteint en 1, h(1) = 3/2. Il faut donc prendre un r > 1, par exemple r=2
Même chose pour d2 :
On calcul
On peut enlever les valeurs absolues pour les mêmes raisons que précédemment. Après calcul on obtient d2(f,g) = = 7/6
On peut prendre r = 2
3) C'est là que ça bloque, mon idée était de montrer que pour un f quelconque de H, il existe une fonction g de C[0,1] et un 
positif tel que pour tous x dans [0,1], f(x) appartient à la boule ouverte de centre g et de rayon .
Ca semble évident compte tenu du fait que les fonctions f de H appartiennent à l'intervalle ouvert ]1/2 ; 1[ donc il existe toujours un positif tel f(x)+ soit encore dans ]1/2 ; 1[
Mais je ne sais pas comment le formaliser.
Le travail que j'ai effectué pour 3) concerne la distance d1, je ne me suis pas encore penché sur le cas d2
salut
tout de même sortir une dérivée pour un trinome ...
3/ vu les inégalités larges ...
prenons la fonction constante f(x) = 1/2 qui appartient à H
peux-tu trouver un réel r tel que si g est une fonction continue on aie : d(f, g) < r => g € H
La forme canonique 
Je suis un peu perplexe par ce que tu viens de dire : " prenons la fonction constante f(x)=1/2 et qui appartient à H "
H est l'ensemble des fonctions continues comprises dans ]1/2 ; 1[ , donc f(x)=1/2 ne peut pas appartenir à H, ne voulais tu pas dire f(x)=3/4? au quel cas j'ai peut-être une idée.
Cet exercice me fait penser à la demonstration : Les boules ouvertes sont ouvertes
Donc soit f(x)=3/4, H n'est autre que la boule de centre f et de rayon 1/4.
Soit g dans H, alors d(f,g) < 1/4
On pose =1/4-d(f,g)
Et on veut montrer que pour tout h appartenant à la boule de centre g et de rayon , h appartient également à H :
d(h,f) d(h,g) + d(g,f)< + d(g,f) = 1/4 d'ou d(h,f) < 1/4 ce qui montre que h appartient bien à la boule de centre f et de rayon 1/4.
H est l'ensemble des fonctions continues comprises dans ]1/2 ; 1[ , donc f(x)=1/2 ne peut pas appartenir à H
un max est un sup (mais la réciproque n'est pas vraie bien sûr !!)
et dans la définition de H il y a des inégalités larges :
H = {f
C[0,1] / 1/2 f(x) 1}Mea Culpa, je me suis trompé dans la recopie de mon énoncé, la définition de H est :
H={fC[0,1] / 1/2<f(x)<1}
ha ben là ça change tout !!!
donc maintenant :
soit f une fonction de H
montre que tu peux trouver un réel e > 0 et une fonction g tels que si d(f, g) < e alors g € H
il faudra bien sûr tenir compte des distances d(f, 1/2) et d(f, 1) ...
enfin plus précisément de inf (f, 1/2) et inf (f, 1) ... et la continuité des fonctions t'assure que ces bornes inf sont des min ...
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