Bonsoir,

Les compacts ce sont les jolis ensembles qui vérifient la propriété de Borel-Lebesgue :

Au passage, il me semble que l'on peut aussi parler des compacts au sens de Bolzano-Weirstrass (qui vérifie la propriété de Bolzano-Weirstrass), mais dans un espace métrique, les deux sens sont équivalents ...

D'ailleurs je n'ai pas d'exemple d'espace compact au sens de B.L et non au sens de B.W ... Si un topologiste connaisseur avait une idée ?

Petite corection :

"les compacts sont les espaces séparé qui vérifie le propriété de Borel Lebesgue"

le séparé est vraiment tres important (par exemple, sans cette hypothese un compact inclu dans un autre espace n'as aucune raison d'etre fermé...) pour des espaces qui vérifie la propriété de borel lebesgue sans etre séparé on parle de quasi-compacité...




sinon pour exemple d'espace topologique non métrique compact au sens de BL mais pas de BW regarde les application de R->[0,1] pour la "topologie de la convergence simple" (expression qui en elle meme ne définie pas une topologie... de facon rigoureuse c'est la topologie la moins fine rendant continu les application f->f(a) )

c'est Compact d'apres Tychonof (c'est une topologie produit [0,1]^R ) mais sa ne vérifie pas du tous BW...

Oups j'ai oublié la séparation, la honte !

Merci Ksilver, bel exemple

Bonsoir,
Comment illustrer pratiquement (graphiquement??) cette notion de compacité dans le cas d'un intervalle fermé de IR , qui est un compact ( IR est séparé et on a un fermé borné) ?
En particulier, comment recouvrir, par des intervalles ouverts, aux bornes  a  et  b  ?l' illustration d'extraction d'un nombre fini d'ouverts ( en prendre deux, par exemple) est-elle possible?
Excusez la "naiveté" des questions....  
Merci.

Bonjour,
Par exemple : [a, b]  est recouvert pour chaque  n  entier fixé >0 , par les ouverts  ]x-1/n, x+1/n[  qui forment une famille infinie.
Maintenant il est clair que  2x(partie entière de b-a)  ouverts suffisent largement.

Exemple  [0,1]  est recouvert par  ]1/4-1/2,1/4+1/2[ U ] 3/4 -1/2, 3/4 +1/2[  

C'est exactement les éclaircissements que je souhaitais.

Dans le cas fini, on a donc recouvrement par des ouverts non disjoints et qui débordent sur les bornes, ce qui est..."logique" .

Merci lolo.