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ensemble complètement réticulé
Bonjour,
je ne vois pas comment montrer que l'ensemble des fonctions numériques
est complètement réticulé
(c'est à dire toute partie de a une borne sup et une borne inf) .
Merci pour votre aide.
pardon, c'est pour toute partie non vide de .
Et la relation d'ordre est :
si
pour tout élément x de E.
Bon je proposeune démonstration, j espère ne pas m être trompé.
On étudie seulement le cas de la borne supérieure.
Soit A une partie non vide.
Soient g un majorant de A, et f un élément de A.
Fixons un élément x de E.
on a .
En particulier, .
existe car
est complètement réticulé et
est une partie non vide de
.
Ainsi A admet une borne supérieure.
On suit le même canevas pour la borne inférieure.
ok, merci camélia, encore une question
si E est complètement réticulé, E possède la propriété de la borne sup et de la borne inf,
mais la réciproque est fausse c est bien ça?
Il me semble que en est un exemple.
Oui, bien sûr, R n'étant pas borné, il y a des tas de parties non vides qui n'ont pas de sup et/ou pas de inf.
L'intérêt de ton exo est qu'il te montre un cas où l'existence des sup et inf est assurée alors que l'ordre n'est pas total!
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