Quelle est la définition d'automorphisme de (E,*) ?

C'est à dire ?

La question me semble claire : quand est-ce qu'une bijection de E dans E est un automorphisme de (E,*) ?

Un automorphisme c'est un endomorphisme bijectif non ?

Alors, qu'est-ce qu'un endomorphisme de (E,*) ? Pourquoi est-il si difficile d'obtenir la réponse ?

Morphisme de (E,*) dans (E,*).

Si je pose la question c'est que j'ai du mal à comprendre tu penses pas ?

Qu'est-ce qu'un morphisme de (E,*) dans (E,*) ? (Je me demande ce que tu vas maintenant inventer pour répondre à côté ).

Désolé, je ne vois pas où tu veux en venir, hormis que tu ne m'expliques rien.

Je veux en venir à ce que tu me donnes la définition de "morphisme de (E,*) dans (E,*)". Tu ne la connais pas ?

Par exemple, je peux te donner la définition d' "application croissante de l'ensemble ordonné , dans " : c'est une application de dans telle que, pour tous de , entraîne .
Quel est le rapport avec ton problème ? Pour montrer que les automorphismes de (E,*) forment un sous-groupe du groupe des bijections de E pour la composition, il est important de savoir précisément ce qu'est un automorphisme. Question subsidiaire : est-ce que les bijections croissantes d'un ensemble ordonné dans lui-même forment un sous-groupe du groupe des bijections ?

Je prends deux éléments et dans , alors

C'est un application de dans .

Bijective dans notre cas.

Ah, enfin !
Donc un automorphisme de (E,*) est une application bijective de E dans E tel que, pour tous x,y de E, f(x*y)=f(x)*f(y).
On peut maintenant travailler avec cette définition. L'ensemble des automorphismes de (E,*) est un sous-ensemble du groupe des bijections de E. Que faut-il faire pour vérifier qu'en sous-ensemble d'un groupe est un sous-groupe ?

On vérifie que si l'on prend deux éléments x et y dans notre sous-ensemble A, alors x*y est interne à ce sous ensemble.

Et que le neutre du groupe des bijections de E est inclus dans A.

Et que le symétrique d'un élément de A est inclus dans A.

Cela revient à ce que j'ai dit dans mon premier post non ?

Ici, si x et y sont des automorphismes, il s'agit de . La confusion avec l'opération * de E n'aide pas à la clarté.
Le composé de deux automorphismes est un automorphisme. Ca serait bon d'en donner la démonstration, mais disons OK.
"Le neutre du groupe des bijections de E est inclus dans A". OK
"Le symétrique d'un élément de A est inclus dans A". D'abord, une incorrection : l'inclusion c'est pour un sous-ensemble. Pour un élément, c'est "appartient à". Et, maintenant, je veux une démonstration de cette affirmation.

Comment montres-tu que le symétrique d'un élément de A appartient à A ?
(C'est pour cette raison que je t'ai fait préciser la définition d'automorphisme).

Oui je sais pour le "appartient à", petite étourderie de ma part.

Chaque automorphisme étant un bijection, tout élément de A admet donc un morphisme réciproque bijectif de (E,*) dans (E,*), donc c'est un automorphisme.

Je suis d'accord que si f est un automorphisme, alors en particulier f est une bijection et admet donc une bijection réciproque . Mais je ne vois nulle part dans ce que tu écris de démonstration du fait que l'application réciproque est un morphisme.

Encore une fois, c'est bien pour ça que je t'ai fait préciser la définition d'automorphisme.

Bon je désespère pas ! Je viens bien y arriver un jour ...

Que faut-il que tu fasses pour montrer que est un morphisme ?