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ensemble de définiton d une fonction définie par une intégrale

Posté par mickachef (invité) 18-09-05 à 12:32

Bonjour
Soit G(x) = integrale(de ln(x) à 2ln(x) ) de (exp(u)/u) du
jai déja montré que (exp(u)/u) était continue quelque soit u de R privé de 0 mais apres je bloque pour prouver que G est définie sur [0;1]


pouvez vous mindiquer la méthode svp??

Posté par mickachef (invité)UN PETIT RAJOUT.... 18-09-05 à 12:33

G(0) = 0 et G(1)= ln(2)....
désolé de létourderie...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ensemble de définiton d une fonction .. 18-09-05 à 14:17

Bonjour mickachef;
Pour que l'intégrale soit définie il faut d'abord que les bornes le soient d'où la condition \fbox{x>0}
Ensuite tu regardes ce qu'il y a à l'intérieur de cette intégrale:
une fonction continue sur {\mathbb{R}}^*
vu que pour x\neq1 on a 0\notin(ln(x),2ln(x)) on voit que
3$\blue\fbox{D_G=]0,1[\cup]1,+\infty[}
remarque:
lorsqu'on ne connait pas l'ordre de deux réels a et b on note (a,b) l'intervalle [a,b]
Sauf erreur bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ensemble de définiton d une fonction .. 18-09-05 à 14:23

J'avais pas lu qu'on donnait \fbox{G(0)=0\\G(1)=ln(2)} avec ça on a donc:
3$\blue\fbox{D_G=[0,+\infty[}

remarque:
Mais il va falloir lors de l'étude de la continuité ou la dérivabilté de G sur son domaine de définition bien distinguer les cas x=0 et x=1.

Posté par mickachef (invité)en effet 18-09-05 à 18:10

merci elhor mais cest bien le probleme
comment étudier cette fameuse continuité en 0 et en 1 car g est donnée sous forme d'intégrale c'est ca que je ne comprends pas....

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ensemble de définiton d une fonction .. 19-09-05 à 16:21

Continuité et dérivabilité en 0:
Soit \fbox{0<x<1} on a 2ln(x)<ln(x)<0
d'où en écrivant \fbox{G(x)=\int_{2ln(x)}^{ln(x)}-\frac{e^u}{u}du} et en remarquant que la fonction u\to-\frac{e^u}{u} est croissante sur ]-\infty,0[ on a \fbox{-\frac{x^2}{ln(x^2)}\le G(x)\le-\frac{x}{ln(x)}} et \fbox{-\frac{x}{2ln(x)}\le\frac{G(x)}{x}\le-\frac{1}{ln(x)}}
et donc \fbox{\lim_{x\to0+}G(x)=0=G(0)} et \fbox{\lim_{x\to0+}\frac{G(x)}{x}=0}
Ainsi on a que G est continue et dérivable à droite en 0 avec \fbox{G_{d}'(0)=0}

Sauf erreur bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ensemble de définiton d une fonction .. 19-09-05 à 17:24

Désolé,j'ai commis une étourderie:
dans l'encadrement de G(x) j'avais oublié de multiplier par l'amplitude de l'intervalle [ln(x^2),ln(x)] qui vaut -ln(x) ce qui donne que:
\fbox{\frac{x^2}{2}\le G(x)\le x} on a donc toujours la continuité de G en 0 (heureusement) par contre pour la dérivabilté en 0 cet encadrement ne permet pas de conclure.
Sauf nouvelle erreur bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ensemble de définiton d une fonction .. 19-09-05 à 19:13

Continuité et dérivabilité en 1:
Pour x\in]0,1[\cup]1,+\infty[ on peut écrire que:
2$\fbox{G(x)=\int_{ln(x)}^{2ln(x)}\frac{e^u}{u}du=\int_{ln(x)}^{2ln(x)}\frac{e^{u}-1}{u}du+\int_{ln(x)}^{2ln(x)}\frac{du}{u}=\int_{ln(x)}^{2ln(x)}\frac{e^{u}-1}{u}du+ln(2)}
la fonction \fbox{u\to f(u)=\frac{e^{u}-1}{u}\\f(0)=1} étant continue sur \mathbb{R} soit F une de ses primitives sur \mathbb{R} on a donc:
\fbox{G(x)=F(2ln(x))-F(ln(x))+ln(2)}
et donc que \fbox{\lim_{x\to1}G(x)=F(0)-F(0)+ln(2)=ln(2)=G(1)} c'est à dire que
G est continue en 1
on voit aussi que pour tout x\in D_{G}-\{0,1\}:
\fbox{\frac{G(x)-ln(2)}{x-1}=\frac{F(2ln(x))-F(ln(x))}{x-1}}
en appliquant le théorème des accroissements finis à F sur le compact (ln(x),2ln(x)) on a que:
\fbox{\exists c\in(ln(x),2ln(x))\\F(2ln(x))-F(ln(x))=ln(x)F'(c)} et donc que:
\fbox{\frac{G(x)-ln(2)}{x-1}=\frac{ln(x)}{x-1}\frac{e^{c}-1}{c}}
en faisant x\to1 on voit que c\to0 et donc vu que \fbox{\frac{ln(x)}{x-1}\to1\\\frac{e^{c}-1}{c}\to1} on a finalement que:
\fbox{\lim_{x\to1}\frac{G(x)-ln(2)}{x-1}=1}
G est donc dérivable en 1 et G'(1)=1
Il nous reste l'étude de la dérivabilité de G à droite de 0,je ferais un autre post si c'est nécéssaire.
Sauf erreur bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ensemble de définiton d une fonction .. 19-09-05 à 23:39

Il me vient une idée:
vu que \fbox{\forall x\in]0,1[\cup]1,+\infty[\\G(x)=F(2ln(x))-F(ln(x))+ln(2)} on voit que G est dérivable sur ]0,1[\cup]1,+\infty[ et que:
\fbox{G'(x)=\frac{2}{x}F'(2ln(x))+\frac{1}{x}F'(ln(x))=\frac{x-1}{ln(x)}}
et donc que 2$\blue\fbox{\lim_{x\to0^+}G'(x)=0} et en utilisant le théorème des accroissements finis on a que: 2$\red\fbox{\lim_{x\to0^+}\frac{G(x)}{x}=0}
G est dérivable en 0 à droite et \fbox{G'_{d}(0)=0}
Voilà,je crois que c'est fait maintenant et notre fonction G est au moins de classe C^1 sur [0,+\infty[
Un bonus:
3$\red\fbox{\int_{0}^{1}\frac{x-1}{ln(x)}=ln(2)}

Posté par mickachef (invité)merci bcp!! 19-09-05 à 23:53

merci elhor cest vraiment tres gentil de ta part mais quand meme je sais pas ce que jaurais fait sans toi cette question a lair simple mais pourtant est assez compliquée et cest vraiment déconcertant!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ensemble de définiton d une fonction .. 19-09-05 à 23:58

Il n'y'a pas de quoi,c'était un plaisir.
Amicalement elhor


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