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Ensemble de points
Bonjour,
Voici un DM que je dois faire pendant les vacances.
A tout nombre complexe z, on associe le nombre z'=(z²-2i)/(zz*+1) où z* représente le conjugué de z
1. Montrer que z' est bien défini pour tout nombre complexe z
2. a) Démontrer que z' est réel si, et seulement si, (z-z*)(z+z*)=4i
b) En déduire que z' est réel si, et seulement si, il existe un réel x non tel que z = x + i/x
3. Démontrer que z' est un imaginaire pur si, et seulement si, il existe un réel x tel que z = x + ix ou z = x-ix
4. On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé. On associe le point M(x;y) du plan au nombre complexe z=x+iy. A partir des réponses précédentes, en déduire:
a) l'ensemble E1 des points M(x;y) tel que z' soit un réel
b) l'ensemble E2 des points M(x;y) tel que z' soit un imaginaire pur
Pour l'exercice 1 :
1) il s'agit de montrer que z z*+1 est différent de 0 mais comment ?
2) a. z' est un réel si sa partie imaginaire est nulle.
b. z = x + i/x et z* = x - i/x
z' un réel ssi (x+i/x-x+i/x)(x+i/x+x-i/x) = 2i/x * 2 = 4i
3. J'imagine qu'il faut suivre la même logique que la question deux mais la partie réelle est nulle mais je ne sais pas comment montrer le a.
4) je ne sais pas du tout
Exercice 2
1.
1 sujet = 1 exercice
** énoncé recopié après coup **
Un grand merci d'avance
calcule z\bar{z} en posant z=a+ib par exemple.
Bonjour et merci pour votre retour.
z\bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a² - i²b² = a²+b²
Ainsi a²+b² + 1 ≥ 1 est forcément différent de 0 donc z' est forcément défini.
Merci. Le dénominateur est donc réel donc il faut observer le numérateur.
Ainsi, je devine l'enjeu d'une identité remarquable a²-b² avec z²-2i mais ne vois pas bien comment faire jouer (z-ƶ )(z+ƶ )
Tu as 2 choses à montrer:
Si z' est réel alors z2-2i est réel alors..... tu dois aboutir à (z-ƶ)(z+ƶ)=4i
Et si (z-ƶ)(z+ƶ)=4i alors...... ..... alors z' est réel
J'étais avec une tablette et dans une position peu confortable.
Je suis assis devant mon PC 
je devrais être plus clair si nécessaire
On en est donc à: si z' est réel, alors 2ab-2=0
Tu peux l'écrire autrement:
2ab-2=0 2ab=2 ab=1
Que devient (z-ƶ)(z+ƶ)=z²-ƶ² = (a+ib)² - (a-ib)² = a²+2iab - b² - (a²-2iab -b²)?
Bonjour à tous les deux
babeth107, tu n'es pas nouveau sur notre site
tu connais notre règlement...
1 sujet = 1 exercice
et obligation de recopier au moins les 5 premières lignes de ton énoncé
recopie ci après les premières lignes de l'exo 1
j'irai les coller dans ton premier message
tu feras de même pour l'exo 2 en ouvrant un second sujet
Je suis toujours là 
merci en tout cas !
On en est donc à: si z' est réel, alors 2ab-2=0
Tu peux l'écrire autrement:
2ab-2=0 2ab=2 donc ab=1
Que devient (z-ƶ)(z+ƶ)=z²-ƶ² = (a+ib)² - (a-ib)² = a²+2iab - b² - (a²-2iab -b²)?
ah donc 4abi = 4i d'accord !! merci
Attention, nous n'avons fait la preuve que dans un sens:
z' réel (z-ƶ)(z+ƶ) =4i
Tu devras montrer:
(z-ƶ)(z+ƶ)=4i z' réel
Ou bien vérifier que tous nos peuvent être transformés en 
Maintenant, pour le b, c'est là que tu as la réponse:
On en est donc à: si z' est réel, alors 2ab-2=0
Tu peux l'écrire autrement:
2ab-2=0 2ab=2 donc ab=1
Que devient (z-ƶ)(z+ƶ)=z²-ƶ² = (a+ib)² - (a-ib)² = a²+2iab - b² - (a²-2iab -b²)?
babeth107, tu recopies tout de suite les premières lignes, ou bien je bloque ton sujet
Bonjour à tous les deux
babeth107, tu n'es pas nouveau sur notre site
tu connais notre règlement...
1 sujet = 1 exercice
et obligation de recopier au moins les 5 premières lignes de ton énoncé
recopie ci après les premières lignes de l'exo 1
j'irai les coller dans ton premier message
tu feras de même pour l'exo 2 en ouvrant un second sujet
Pardon malou, les voici :
A tout nombre complexe z, on associe le nombre z'=(z²-2i)/(zƶ+1)
1. Montrer que z' est bien défini pour tout nombre complexe z
2. a) Démontrer que z' est réel si, et seulement si, (z-ƶ)(z+ƶ)=4i
b) En déduire que z' est réel si, et seulement si, il existe un réel x non tel que z = x + i/x
3. Démontrer que z' est un imaginaire pur si, et seulement si, il existe un réel x tel que z = x + ix ou z = x-ix
4. On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé. On associe le point M(x;y) du plan au nombre complexe z=x+iy. A partir des réponses précédentes, en déduire:
a) l'ensemble E1 des points M(x;y) tel que z' soit un réel
b) l'ensemble E2 des points M(x;y) tel que z' soit un imaginaire pur
(z-ƶ)(z+ƶ)=4i <=> z' réel
je comprends que l'information ab = 1 est importante
(z-ƶ)(z+ƶ)=4i <=> donc z' est réel donc la partie imaginaire de z' est nulle
z²-2i = a²+2ib+b² - 2i = a²+b²+i(2b-2) donc 2b-2=0 donc b=1 ?
dépannage en passant
2a)
cela se fait très vite par équivalences
z' réel
3-4 lignes à écrire et tu as directement l'équivalence demandée
2b) cela fait, tu poses z=x+iy et tu l'injectes dans la relation trouvée juste au dessus et tu écris y en fonction de x et tu obtiens le résultat cherché
salut
oui ... je voulais intervenir à la fin pour montrer qu'on pouvait ne travailler qu'en "mode complexe" sans jamais parler de partie réelle et de partie imaginaire ...
Bonjour et merci pour vos réponses.
poses z=x+iy
z²-2i = (x+iy)²-2i = x²+2iyx -y² -2i = x² - y² + 2iyx - 2i
Donc 2iyx - 2i = 0 <=> i(2yx - 2) = 0 <=> 2yx - 2 = 0 <=> yx = 1 <=> x=1/y
Merci malou & carpediem pour l'assistance.
N'hésitez pas à intervenir à nouveau. Mes cervicales me jouent des mauvais tours en ce moment...
babeth107, dans le même esprit, tu peux t'attaquer à la question 3.
Merci beaucoup !
Donc si z' est un imaginaire pur <=> z²-2i est un imaginaire pur
donc si z²-2i est un imaginaire pur : (x+iy)²-2i est un imaginaire pur
<=> x² + 2iy - y² - 2i est un imaginaire pur
<=> x² - y² =0 <=> (x-y)(x+y)=0
donc soit x = y soit x = - y
ie z = x+ix ou z = x-ix
Oui, ça marche.
En utilisant la technique de malou et carpediem, tu pouvais partir de:
z' imaginaire pur
Merci !
4) a. il faut donc s'aider du 2a)
z = x + i/x <=> x + iy = x + i/x <=> iy = i/x
est-ce comme ça ?
Tu dois trouver la relation qui lie la partie réelle à la partie imaginaire.
Ça peut être quelque chose comme y=f(x)...
Je m'aperçois que je n'ai pas répondu à ta question
z = x + i/x <=> x + iy = x + i/x <=> iy = i/x
est-ce comme ça ?
Oui. Tu peux représenter graphiquement cet ensemble de points en traçant la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=1/x
Ah d'accord merci !
Et donc pour E2 :
z = x+ix ou z = x-ix
donc x+iy=x+ix <=> iy=ix <=> y = x
ou x = -y <=> y = -x
donc E2 : M1(x;x) ou M2(x;-x) ?
pour revenir sur l'exercice on peut se passer de ce x + iy dans tout l'exercice (sauf pour les conclusions) ... et utiliser toute la puissance et les propriétés des complexes :
par définition zz* est un nombre réel positif (carré du module) donc évidemment zz* + 1 >= 1 > 0
et bien évidemment zz* + 1 est donc un réel donc égal à son conjugué
déduire est alors immédiat : en posant z = x + iy
enfin
et seulement maintenant on peut poser z = x + iy pour finir ....
d'autre par remarquer que
ou encore que
et que vaut i(1 + i), i(1 - i) ...
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