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ensemble de points complexes
Bonjour
j'ai un exercice sur les complexes qui me pose problème.
Dans le plan complexe, soit f la transformation définie par f(z)=z+1/z.
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que f(z)=1.
Je pose z=x+iy
donc x+iy+1/(x+iy)=1
je mets au même dénominateur : ((x+iy)(x+iy)+1)/(x+iy)=1
(x²+2xiy+(iy)²+1)/(x+iy)=1
je fais passer le dénominateur de l'autre coté : x²+2xiy-y²+1=x+iy
x²+2xiy-y²+1-x-iy=0
x²-x-y²+1+2xiy-iy=0
x²-x-y²+1+i(y(2x-1))=0
Donc j'obtiens deux équations
y(2x-1)=0 partie imaginaire ici soit y=0 soit x=1/2
et
x²-x-y²+1=0 partie réelle
et c'est là que j'ai un problème.
x²-x-y²+1=0 ressemble à l'équation d'un cercle mais x²-x-y²=-1 ne marche pas car le rayon ne peut pas être négatif
Pouvez-vous m'aider
Merci
Ah oui i faut d'abord factoriser
donc le premier (x-1/2)² ça donne x²-x+1/4 ce qui devient (x-1/2)²-1/4
par contre -y² j'ai du mal (y-0)² ça donne y² mais je n'ai pas le -y²
pour moi, faut pas remplacer
tout dans un seul membre, puis réduction au même dénominateur en gardant z
On reprend depuis le début, c'est très simple :
f(z)=1 équivaut à z+1/z = 1 , c'est à dire à (en multipliant tout par z ) : z² + 1 = z
A toi
f(z)=1 équivaut à z+1/z = 1 , c'est à dire à (en multipliant tout par z ) (*) : z² + 1 = z
(*) : ce qui conserve l'égalité, car z = 0 n'est pas solution de l'équation.
Ah tu veux dire
z+1/z=1
donc (z²+1)/z=1
donc z²+1=z
donc z²-z+1=0
Je reviens quand même à ta méthode initiale, qui fonctionne :
Tu avais trouvé :
y(2x-1)=0 partie imaginaire ici soit y=0 soit x=1/2
et
x²-x-y²+1=0 partie réelle
donc delta=(-1)²-4*1*1=-3
donc pas de solution réelle.
2 solutions complexes
z1=(1-iracine(3))/2 et z2=(1+iracine(3))/2
ce sont donc les deux points d'affixe z1 et z2
Merci
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