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ensemble de points (sur les complexe)

Posté par knox (invité) 27-11-05 à 14:03

bonjour a tous
voilà le contenu de mo exo :
a tout nombre complexe z (z1) on associe le nombre complexe Z tel que Z=z-1+2i/z-i
1) On pose z=x+iy.determiner la parti réelle X et la parti imaginiare Y de Z en fonction de x et y
j'ai trouvé : z=x-1+i(y+2)/x+i(y-1)  
et c'est a ce moment là où je n'arrive pas a séparer la partie réelle et imaginiare !
merci de votre aide
KnOx

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : ensemble de points (sur les complexe) 27-11-05 à 14:08

Bonjour, pourrais-tu mettre tes parenthèses sur ton expression de z pour bien différencier le numérateur du dénominateur, merci.

Posté par knox (invité)re : ensemble de points (sur les complexe) 27-11-05 à 14:10

oui bien sur excusez moi alors c'est Z=(z-1+2i)/(z-i)
et j'ai trouvé Z=(x-1+i(y+2))/(x+i(y-1))

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : ensemble de points (sur les complexe) 27-11-05 à 14:20

En multipliant par la conjugué et en restant avec les z pour le moment, j'en arrive à :

Z=\frac{z^2-z+2+(3z-1)i}{z^2+1}

en remplacant z par x+iy :

Z=\frac{x^2-x-y^2-3y-2+(x(2y+3)-y-1)i}{x^2+2ixy-y^2+1}

et si \fbox{Z=X+Yi}

alors :

\fbox{X=\frac{x^2-x-y^2-3y-2}{x^2+2ixy-y^2+1}\\ \\ Y = \frac{x(2y+3)-y-1}{x^2+2ixy-y^2+1}

Sauf erreur.

Posté par
littleguy
re : ensemble de points (sur les complexe) 27-11-05 à 14:27

Bonjour

Z=\frac{(x-1)+i(y+2)}{x+i(y-1)}

donc Z=\frac{[(x-1)+i(y+2)]\times [x-i(y-1)]}{[x+i(y-1)]\times[(x-i(y-1)]}

et en développant puis regroupant partie réelle et partie imaginaire on obtient :

Z=\frac{x^2+y^2-x+y-2}{x^2+(y-1)^2}+i \ \frac{3x+y-1}{x^2+(y-1)^2}

sauf erreur.

Posté par
littleguy
re : ensemble de points (sur les complexe) 27-11-05 à 14:29

Bonjour puisea : tu as encore des i qui "traînent" aux dénominateurs dans X et Y

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : ensemble de points (sur les complexe) 27-11-05 à 14:31

Arf oui, merci, j'ai mal lu la consigne... :$
Dans ce cas la bonne réponse est bien sûr celle de littleguy

Posté par knox (invité)re : ensemble de points (sur les complexe) 27-11-05 à 14:53

Merci bien , je n'avais pas penser au conjugué !!
je via spouvoir continuer le reste de mon exercice
il demande de déterminer et représenter dans le plan complexe l'ensemble (E) des point M d'affixe z telle que Z soit un nbre réel
je n'ai qu'à faire :
(3x+y-1)/(x²+(y-1)²) =  0 en utilisant les conjuguées?!
et pr déterminer telle que Z soit un nombre imaginaire pur on fait
(x²+y²-x+y-2)/(x²+(y-1)²)=/2 ?!
merci encore
KnOx


Posté par
littleguy
re : ensemble de points (sur les complexe) 27-11-05 à 14:57

Z réel ssi sa partie imaginaire est nulle : OK pour ta réponse.
Tu vas trouver une droite privée d'un point.

Z imaginaire pur ssi sa partie réelle est nulle : pas OK avec ta réponse. Tu vas trouver un cercle privé d'un point.

Posté par knox (invité)re : ensemble de points (sur les complexe) 27-11-05 à 15:33

c'est bon je trouve le même résultat que vous concernant la 1ère question!
mais j'ai un petit problème(ou du moin un petit problème de mémoire)pour prouver que la partie imaginaire est nulle
je fais (3x+y-1)/(x²+(y-1)²) =  0  
j'ai fait 3x+y-1=0 cela done y=3x-1 j'ai remplacé alors tous ça dans (3x+y-1)/(x²+(y-1)²)  et à la fin ça me donne  (6x)/(8x²-12x+4) mais je coince et je suis pas sure du tout de ce que j'ai fait
merci bcp
KnOx

Posté par
littleguy
re : ensemble de points (sur les complexe) 27-11-05 à 16:14

\frac{3x+y-1}{x^2+(y-1)^2}=0 \ \Longleftrightarrow \ 3x+y-1=0 et x^2+(y-1)^2 \neq 0

donc

\frac{3x+y-1}{x^2+(y-1)^2}=0 \ \Longleftrightarrow \ y=-3x+1=0 et (x,y) \neq (0,1)

L'ensemble cherché est donc la droite d'équation y=-3x+1, privée du point de coordonnées (0;1)


Posté par knox (invité)re : ensemble de points (sur les complexe) 27-11-05 à 16:46

Merci !!
et pour la partie réelle qui est nulle
on a (x²-x)+(y²-y)=2
le rayon est 2
et le centre est (x;y)
mais on connait aucune valeur !!!
KnOx



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