Bonjour.
J'ai besoin de demontrer que l'ensemble est denombrable.
le crochet dans ton cas, c'est le couple ou autre chose ? Si c'est le couple, c'est un sous-ensemble de
.
Après ça dépend de ton cours, si tu sais que est dénombrable, c'est ok. Sinon, il y a un petit travail à faire.
Pour t'en persuader, tu peux aussi prouver qu'un sous-ensemble d'un ensemble dénombrable est dénombrable. Ce n'est pas difficile en revenant à la définition (existence d'injection de dans
).
Ok, je suis bête, c'est l'intervalle.
On caractérise un intervalle par ses valeurs extrêmes. Ca doit t'aider pour trouver une injection de dans
Ok, je détaille.
Pour prouver la dénombrabilité de . Il faudrait trouver une injection de
dans
. Ca c'est la définition.
On sait (est-ce que c'est dans ton cours ?) que est dénombrable. Et donc
idem pour qui en est une sous-partie.
L'intervalle est caractérisé par la donnée du couple
. On peut injecter
dans
(l'injection est naturelle, mais c'est un petit exo de définition que de le vérifier).
Finalement, on a injecté dans une ensemble dénombrable, donc qui s'injecte dans
. Par composition, on a trouvé une injection de
dans
Euh non on ne sait pas que Qx Q est denombranle (ca n'est pas dans mon cours). Mais par contre on sait que Q est dénombrable. Donc on pourrait fixer un rationel et construire un ensemble sur les rationnels
Est-ce que vous pouvez m'écrire une demonstration compte tenu du fait que je ne sais pas que QxQ est denombrable ?
Intuitivement : Vu que est dénombrable, comment est
? Que dire de
, pour
arbitrairement fixé dans
? Conclusion ?
Thierry
Tu as donc deux solutions qu'il reste à terminer :
-> celle que j'ai proposée, il manque la dénombrabilité de
Pour cela, commençons par la dénombrabilité de . Par exemple, si
sont deux nombres
premiers distincts, on a une injection de dans
avec :
.
Puisque tu sais que est dénombrable, soit
une injection. Alors par
on injecte
dans
qui est dénombrable.
On a donc ainsi la dénombrabilité de
-> celle de Thierry, il manque le fait q'une uninon dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable. Ce qui est un tout peu plus difficile à montrer. C'est un exo en soit qui est à mon avis plus dur que la question que tu te poses.
A+
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