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Niveau Licence Maths 1e ann
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Ensemble Denombrable

Posté par
jawad
08-09-13 à 12:27

Bonjour.

J'ai besoin de demontrer que l'ensemble A=\{[x,y];x \leq y, x \in \mathbb{Q},y \in \mathbb{Q} \} est denombrable.

Posté par
Skolve
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 12:46

salut,

C'est un sous-ensemble de ... qui est dénombrable non ?

Posté par
jawad
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 12:48

Oui . Mais je me demande si c'est suffisant comment demonstration ?

Posté par
jawad
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 12:50

*comme

Posté par
ThierryPoma
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 12:50

Shalôm lerha, Jawad ! Es-tu certain de ta réponse ?

Thierry

Posté par
jawad
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 12:52

oui

Posté par
Skolve
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 12:53

le crochet [x,y] dans ton cas, c'est le couple ou autre chose ? Si c'est le couple, c'est un sous-ensemble de \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} .

Après ça dépend de ton cours, si tu sais que \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} est dénombrable, c'est ok. Sinon, il y a un petit travail à faire.

Pour t'en persuader, tu peux aussi prouver qu'un sous-ensemble d'un ensemble dénombrable est dénombrable. Ce n'est pas difficile en revenant à la définition (existence d'injection de A dans  \mathbb{N} ).

Posté par
ThierryPoma
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 12:54

N'aurait-on pas plutôt A\subset \mathfrak{P}(\Q), auquel cas les choses seraient loin d'être triviales ?

Thierry

Posté par
jawad
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 12:54

Non c'est l'intervalle

Posté par
jawad
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 13:00

C'est l'intervalle [x,y] et non pas le couple

Posté par
Skolve
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 13:01

Ok, je suis bête, c'est l'intervalle.

On caractérise un intervalle par ses valeurs extrêmes. Ca doit t'aider pour trouver une injection de  \{ (x,y) \in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q} : x \leq y \} dans  A

Posté par
jawad
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 13:02

Pouvez vous detailler un peu plus

Posté par
Skolve
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 13:04

euh de  A dans  \{ (x,y) \in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q} : x \leq y \} , désolé

Posté par
Skolve
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 13:11

Ok, je détaille.

Pour prouver la dénombrabilité de  A . Il faudrait trouver une injection de  A dans  \mathbb{N}. Ca c'est la définition.

On sait (est-ce que c'est dans ton cours ?) que  \mathbb{Q}\times \mathbb{Q} est dénombrable. Et donc
idem pour  B = \{ (x,y) \in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q} : x \leq y\} qui en est une sous-partie.

L'intervalle [x,y] est caractérisé par la donnée du couple (x,y). On peut injecter A dans B (l'injection est naturelle, mais c'est un petit exo de définition que de le vérifier).

Finalement, on a injecté A dans une ensemble dénombrable, donc qui s'injecte dans \mathbb{N}. Par composition, on a trouvé une injection de A dans \mathbb{N}

Posté par
jawad
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 13:13

D'accord. Merci beaucoup

Posté par
jawad
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 13:30

Euh non on ne sait pas que Qx Q est denombranle (ca n'est pas dans mon cours). Mais par contre on sait que Q est dénombrable. Donc on pourrait fixer un rationel et construire un ensemble sur les rationnels

Posté par
ThierryPoma
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 13:35

Remarquons que

A=\Bigcup_{t\in\Q^+}\left\{[x,\,x+t]:x\in\Q\right\}

Thierry

Posté par
jawad
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 13:40

Est-ce que vous pouvez m'écrire une demonstration compte tenu du fait que je ne sais pas que QxQ est denombrable ?

Posté par
ThierryPoma
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 13:52

Intuitivement : Vu que \Q est dénombrable, comment est \Q^+\subset\Q ? Que dire de \left\{[x,\,x+t]:x\in\Q\right\}\subset\mathfrak{P}(\Q), pour t arbitrairement fixé dans \Q^+ ? Conclusion ?

Thierry

Posté par
jawad
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 13:54

Toutes vos questions impliquent la denombrabilite. Je vous remercie

Posté par
Skolve
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 15:14

Tu as donc deux solutions qu'il reste à terminer :

-> celle que j'ai proposée, il manque la dénombrabilité de \mathbb{Q}^2

Pour cela, commençons par la dénombrabilité de \mathbb{N}^2. Par exemple, si p,q sont deux nombres
premiers distincts, on a une injection de \mathbb{N}^2 dans \mathbb{N} avec : (i,j) \mapsto p^iq^j.

Puisque tu sais que \mathbb{Q} est dénombrable, soit \phi : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{N} une injection. Alors par (i,j) \mapsto (\phi(i),\phi(j)) on injecte \mathbb{Q}^2 dans \mathbb{N}^2 qui est dénombrable.

On a donc ainsi la dénombrabilité de \mathbb{Q}^2

-> celle de Thierry, il manque le fait q'une uninon dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable. Ce qui est un tout peu plus difficile à montrer. C'est un exo en soit qui est à mon avis plus dur que la question que tu te poses.

A+

Posté par
jawad
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 15:15

Justement la propriete utilisee par Thierry est presente dans mon cours

Posté par
Skolve
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 15:18

Parfait alors !

et celle d'un produit cartésien fini d'ensembles dénombrables est dénombrable ?

Posté par
jawad
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 15:19

Celle ci non

Posté par
Skolve
re : Ensemble Denombrable 08-09-13 à 15:28

ça peut être utile, surtout que c'est plus facile à démontrer.

En adaptant une peu tu as la preuve dans un de mes messages précédents



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