Ne t'inquiètes pas, parfois ça prend beaucoup plus longtemps !

Redevenons sérieux !
Si tu veux de plus amples informations concernant ma phrase un peu énigmatique d'hier soir (sur l'union au plus dénombrable etc..) ou d'autres résultats concernant la dénombrabilité (du genre celle de ), surtout n'hésite pas !

Merci.

J'avais une petite question justement : comment prouver par exemple que Z- est dénombrable ( sachant que N est dénombrable ), sans utiliser une bijection. Plus clairement, existe-t-il un théorème.

Je demande ça parce que j'ai vu un exemple de dénombrabilité de Q , en montrant que l'application, de Q+ dans NxN, qui a (p/q) associe (p,q) est bijective. Donc Q est dénombrable.

je comprends très bien pourquoi Q+ est dénombrable, car on a NxN dénombrable , mais comment montrer que Q- est dénombrable ? Apparemment c'est immédiat, mais qu'utilise-t-on ?

En fait, pour montrer que est dénombrable, la seule chose que je vois c'est la bijection qui est assez simple (c'est l'application qui à n associe -n). Plus simple, honnêtement, je vois pas.

Pour la démonstration de la dénombrabilité de , l'application dont tu me parles n'est absolument pas bijective. De plus, il me semble que cette application n'en est pas une si l'on ne suppose pas que l'on a p et q premiers entre eux. En supposant ceci, l'application ainsi définie est injective mais pas surjective.
Mais qu'à cela ne tienne : l'injectivité suffit car alors il existe une injection de dans , donc il est en bijection avec un sous-ensemble infini de , d'où la dénombrabilité.

Pour démontrer que est dénombrable, c'est la même chose que pour .

Kaiser

Merci

bonjour à tous,

kayser, tu es sur de ton post de OOh49 ?

Si on prend In l'ensemble des parties de N de cardinal n, In est dénombrable pour tout n, et qui n'est pas dénombrable.

Sauf erreurs,

bret

euh pardon ce n'est pas P(N) l'union mais le sous-ensemble de P(N) constitué des parties de cardinal fini de N qui est également non dénombrable je crois...

Sauf erreurs

Bonjour bret

Oui, je suis sûr du résultat. D'ailleurs, il était dans une de mes feuilles de TD.
Pour ce qui concerne ton exemple, pour n supérieur à 1 est bien dénombrable car il est en bijection avec qui est dénombrable comme produit fini d'ensembles dénombrables.

Ainsi, pour tout n supérieur à 1, il existe une bijection de dans .
On considère alors l'application suivante qui va de dans E.

.

On peut montrer facilement que cette application est bijective et donc E est dénombrable (car l'est )

Kaiser

P.S : je vais essayer de préparer un post concernant le résultat que j'ai énoncé.

J'ai trouvé une démo de ce théorème, voici le lien :

Merci Rouliane !
Moi qui allait me lancer dans une démo, je l'ai échappé belle !

Sinon, une petite question à propos du "au plus dénombrable" , qui me pose en fait toujours problème

Déjà, est ce que je peux dire que N est au plus dénombrable ? ( car il est dénombrable )

Si celà est vrai, alors en utlisant le théorème suivant : "Si f:E --> F est injective et si F est au plus dénombrable, alors E est au plus dénombrable"
Il me suffit de trouver une injection de E dans N pour montrer que E est dénombrable ?

Je pense que non, mais je n'en suis pas sur.

Je crois comprendre (en écrivant ce message ) qu'en fait, si on trouve une injection de E dans N, alors on a juste E qui est au plus dénombrable.
C'est à dire qu'on ne pourra pas dire s'il est fini ou dénombrable ...


Merci de rectifier mes (nombreuses) erreurs

Rouliane

De rien Kaiser

Effectivement, ça aurait été long à taper

Effectivement, est au plus dénombrable car "au plus dénombrable"="fini ou dénombrable"

Par contre, si E un ensemble et si tu montres qu'il existe une injection de E dans , alors E est seulement au plus dénombrable (il ne sera dénombrable que s'il est infini).

D'accord, merci.

c'st à peu près ce que j'avais compris, tant mieux

ah oui en effet Kayser, en fait, c'est une simple récurrence. J'avoue que j'ai un peu honte de mon précédent post

à plus

Mais non. A priori, ce résultat n'est pas aussi évident que ça !

ah oui en effet ...

Voila ce que ca fait les vacances !!

bon je crois que je vais arreter les maths pour aujourd'hui

bret

Bonjour,

J'ai une petie question pour la démo de " toute partie A de N est au plus dénombrable"

Si est fini, ok.

Si est infini, on suppose avoir prouvé l'existence d'élements de , notés tels :


\{} ,

Je ne comprends pas comment on peut être sur de l'existence de tels éléments.
Et ça me gène le "on suppose avoir prouvé".
Pourquoi ne pas le prouver ?
Je comprends bien la démo après, mais j'ai du mal à comprendre cette étape, merci de m'aider

Rouliane

Bonjour Rouliane

Personnellement, je pense que c'est pour construire une suite par récurrence.

Kaiser

Plus précisément, le rang n=0 est immédiat car il suffit de prendre le plus petit élément (qui existe car A est non vide et inclus dans ).
La supposition faite dans ton message est l'hypothèse de récurrence et on montre la propriété au rang n+1 (je suppose que c'est ce qui est fait par la suite).

Ah mais oui, j'suis trop bête c'est évident !
Je sais pas où j'avais la tête

Merci

Mais je t'en prie !