Montrer que (A')' est contenu dans A'

*** message déplacé ***

Bonjour,



*** message déplacé ***

multipost : (Lien cassé)

Kaisermax, ça serait quand même bien de lire comment on travaille sur ce site !
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci
à lire de toute urgence ....

Désolé je m'en excuse

Salut Kaisermax.
Alors tu en es où sur cette propriété des ensembles dérivés ?

A vrai dire je bloque toujours dessus

Alors dans ce cas, commence par te poser des questions basiques : tu veux montrer qu'un ensemble est fermé ? Quelles sont les différentes possibilités qui s'offrent à toi ?

Soit montrer que son complémentaire est ouvert ou alors montrer qu'il est égal à son adhérence

Eh bien on va faire les deux, sachant que de toute façon, l'une est la duale de l'autre.
Commence par ce que tu veux ...

Le complémentaire ouvert

Alors c'est parti : soit ...

Alors b n'est pas dans A' donc :
Il existe un r>0 tel que B(b
,r)n(A-{b})=Ø

Tout-à-fait, en français, ça donne qu'il existe une boule centrée en b qui ne rencontre A, qu'au mieux au point b.
Autrement dit, b est soit un point isolé de A soit n'appartient  pas à A.
Que peut-on dire alors de cette boule, et que conclure ?

Il est quand même plus simple de montrer que si A ' est non vide  et  a    (A ') ' alors
     si un ouvert  U contient   a   il rencontre A ' \ {a]  en au moins un b A ' . Mais alors  U rencontre  A \ {a] ce qui prouve que a A ' .

Rq: L'inclusion peut être stricte :  Si A =  { 1/n | n * }  on a :  A ' = {0} et A ''  =

il me semble que A' = {0} U A et A" = A' ...

C'est qui vaut  {0} U A .

1[   A '   puisque   ]1/2 , 2[ ne rencontre pas A \ {1}

1/2 A ' puisque ]1/3 , 1[ ne rencontre pas A \ {1/2}
......
1/n A ' puisque ]1/(n+1) , 1/(n - 1)[ ne rencontre pas A \ {1/n}
......

Par contre  tout ouvert contenant 0 rencontre  A  = A \{0]  .