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Ensemble des f: N -> {0,1} dénombrable?
Posté par mlimlitch
Bonjour, la question est dans le titre.
Je voudrais savoir si ma réflexion est correcte:
Pour démontrer que c'est vrai, je construis une fonction  dans [smb]N.gif)
.
:F
F
(f)
Où (f):=
2^i * f(i).
Pour tout i appartenant à
Chaque image par est donc le nombre 'en binaire' juste qu'on commence par multiplier avec 1 à gauche et non pas à droite du nombre. Ceci est une fonction injective car chaque fonction dans l'ensemble donc chaque suite de 0 et de 1 est unique et donc la somme l'est aussi.
Merci pour vos réponses!
Salut,
Honnêtement, je ne comprend pas trop ce que tu fais, mais ça dois certainement être faux car cet ensemble n'est pas dénombrable. En effet, il est en bijection avec qui est l'ensemble des partie de
.
D'accord, et comment voir cette bijection?
ok on a démontré dans le cours que l'ensemble des parties de n'est pas dénombrable car il n'existe pas de surjection de vers cet ensemble. Mais comment justifier rigoureusement qu'un ensemble qui est en bijjection aves P() n'est pas dénombrable non plus?
Bonjour
Tu connais la définition d'un ensemble dénombrable? Montre que tu ce qui est en bijection avec un ensemble dénombrable est aussi dénombrable.
Bonjour,
Le raisonnement serait correct si la somme existait toujours. Or ce n'est le cas que pour des suites à support fini.
Ce que tu as établi est que l'ensemble des suites de à support fini, et de manière équivalente l'ensemble des parties finies de
, est dénombrable.
Pour faire converger la somme, on peut passer à .
On peut montrer de cette façon que et que l'ensemble des suites de
périodiques est dénombrable.
Mais est-ce que le raisonnement donnénpar douzaine montre que c'est dénombrable? D'après idm ce n'est pas le cas.
Et concernant la bijection mentionnée par idm; comment la définir?
Je laisse douzaine répondre à ta question concernant son post
Pour la bijection, c'est en fait assez clair, prendre
Ce qui signifie en gros que tout élément de , il existe une unique fonction
qui détermine
(ou telle que
). Il s'agit en fait de la fonction caractéristique.
Tu comprend mieux ?
Bon, c'est en train de partir en vrille...
douzaine t'a expliqué pourquoi ton raisonnement est faux, et t'a même donné un raffinement... Il ou elle n'a jamais dit que l'ensemble de TOUTES les fonctions de dans
est dénombrable.
Pour répondre à ta question: Soit une partie de
On définit
en posant
si
et
si
.
Montre que définie par
est bijective.
Nous avons posté en même temps, donc je n'avais pas vu ta bijection. Mais elle est à l'envers! Telle que tu l'écris, tu dois partir d'une quelconque et lui faire correspondre une partie!
Non, il suffit de le donner correctement.
Maintenant, mlimlitch a aussi la réciproque de la bijection!
Alors, je me suis lancé dans la démonstration, voici ce que j'ai trouvé: (à partir de la fonction donnée par Camélia)
On veut montrer que F est en bijection aves l'ensemble des parties de " alt="[tex]
" class="tex" />[/tex].
Pour cela on définit une fonction 
Soit A une partie de ;
indiceA: {0,1}
indiceA(n) = 1 si n
A
indiceA(n) = 0 sinon
Montrons que 
()F
(A) = indiceA est bijiective.
est-ce qu'il suffit d dire qu'elle est surjective par définition?
on montre l'injectivité par l'absurde.
Supposons qu'il existe A1 
A2 t.q. (A1) = (A2)
Soit n A2 mais n 
A1.
(A1)(n) = 0 car n A1
mais (A2)(n) = 1 car n A2
ceci implique que (A1) (A2)
donc est aussi injective, donc bijective.
Bonjour,
une autre démo dans le cas où l'on ne sait pas que P(N) n'est pas dénombrable:
Par l'absurde. On suppose que les suites à valeurs dans 0,1 sont dénombrables.
On peut donc les écrire toutes, par exemple une en dessous de l'autre. On obtient une sorte de tableau infini vers la droite et le bas.
La suite constituée de la diagonale "inversée" (dans le sens 1 à la place de 0 et vice-versa) ne sera jamais écrite.
D'où la contradiction.
Dans ta démonstration tu as bien prouvé l'injectivité, mais pas la surjectivité. (C'est ce qu'avait fait )