Non, moi je ferai une récurrence sur le nombre de variables. (Ici il y en a deux, ça va aller vite).

On écrit
Suppose que s'annule sur le pavé .
Soit . Que peux-tu dire du polynôme ?
Ensuite, que peux tu dire des polynômes ? (ici on utilise l'hypothèse de récurrence )

Tu peux voir que cette démonstration se généralise à un nombre quelconque de variables. Et que l'hypothèse "intérieur de l'ensemble des zéros non vide" peut être affaiblie en "s'annule sur   où chaque est infini".

Oh je vois (enfin je crois) !

Si x est fixé, le polynôme P(x,X2) admet une infinité de racines (par exemple ]c,d[ est inclus dans l'ensemble de celles-ci). Comme c'est un polynôme à une variable, cela implique qu'il est identiquement nul. Il suit que les pk(x) sont tous nuls, et en particulier comme c'est vrai pour tout x dans ]a,b[, l'intérieur de l'ensemble des zéros de ces derniers est non vide.

Ai-je bon, ou quelque chose est douteux ? En tout cas si c'est ça, je vois en effet comment généraliser à un plus grand nombre de variables

Je me suis embrouillé, j'ai oublié la récurrence en chemin. Bien sûr ensuite il faut l'utiliser, et dire que c'est absurde (car on suppose P non identiquement nul).

L'hypothèse de récurrence, c'est quand tu dis qu'un polynôme avec une variable de moins dont l'intérieur de l'ensemble des zéros est non vide est le polynôme nul.
C'est bien l'idée. Et sous la forme que j'ai donnée, pas de topologie, ça marche pour n'importe quel corps (ça demande bien sûr qu'on puisse trouver des parties infinies dedans !).

D'accord, super, merci énormément GBZM ; tout est toujours simple avec toi j'ai l'impression ! Je vais mettre ça en forme tranquillement.

Bonne soirée

Avec plaisir.
Tu sais, c'est une démonstration tout à fait classique - et c'est vrai qu'elle est simple !