Déjà, une réponse facile :

Mais si l'image réciproque d'un ensemble est ouvert, cet ensemble est-il ouvert?

Non, penser à la fonction sinus. L'image réciproque du fermé [-1,1] (fermé dans R pour la topologie usuelle) est R tout entier (ouvert).

Bonsoir, pour prolonger la réponse donnée un peu plus tôt :

- "est-ce vrai ssi l'espace topologique d'arrivée est muni de la topologie finale pour l'application considérée ?" : as-tu essayé de le prouver ? En général, tu ne trouveras pas que la topologie est égale à la topologie finale, seulement qu'elle la contient.

- "est-ce qu'on peut écrire tout ouvert de l'espace de départ comme image réciproque de l'espace d'arrivée ?" : je ne crois pas, mais c'est à vérifier car il est tard et je suis sur mon portable... on peut imaginer une fonction affine par morceaux de dans . Par exemple, sur ]-,0] on prend la fonction x x, puis sur [0,1] on prend la fonction constante égale à 0, puis sur [1, +[ on prend x x-1. Dans ce cas, ]0,1[ n'est pas image réciproque d'un ouvert de par la fonction continue ainsi définie (je crois... à vérifier )

Merci pour vos réponses et vos contre exemples, je vois où ça cloche.
Ok, ton exemple fonctionne (fonctionne dès qu'on prend un ouvert de vu comme image réciproque d'une fonction cste par exemple, il est alors image réciproque d'un fermé).

Je me posais la question pour la topologie quotient et l'application projection sur l'espace quotient, mais en relisant bien la définition l'image réciproque de tout ouvert est ouvert. En fait la topologie quotient est définie de cette façon, donc forcément ça marche^^