Salut,

P(E) est l'ensemble des parties de E.

Par exemple, pour E={1;2;3},

P(E) = {{};{1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};{1;2;3}}.

Ici Card(P(E)) = 2³ = 8.

Je pense que tu peux démontrer ta propriété par récurrence.

à+

Merci Cinnamon pour cette précision je m'y met. +++

Je t'en prie.

salut tu fait une récurrence en n:

si n = 0 : donc d'ou card

soit n quelconque pour laquelle cette propriété est vraie.
Quellque soit l'ensemble E de cardinal n,
Montrons que la propriété est vraie au rang n+1
Soit E' de cardinal n+1


or
Soit l'ensemble des parties de E' qui contiennent a,
Soit l'ensemble des parties de E' qui ne contiennet pas a;

on a
Or : et sont équipotents donc
Par ailleurs donc
CQFD

d'ou

Où est-ce que tu as trouvé cette démo Redman ?

j'ai le meme exos et je ne comprend pas trop cette demonstration redman peut tu préciser ?

dans mon cours

quest ce que tu ne comprend pas?

Je suis Ok pour l'initialisation mais ensuite on partirai de non ?

Donc

non , parce que n c'est le cardinal,

n n'appartient pas à E, mais c'est sont cardinal :

On dit rigoureusement que E et l'intervalle des entiers naturels de O à n, sont équipotents, c'est à dire qu'il existe une bijection qui passe de l'un à l'autre.

Moins rigoureusment, n c'est le nombre d'élément qu'il y a dans E, donc n c'est un dénombrement et pas un élément

Je pensais qu'en terminale, on ne voyait pas le genre de termes comme "équipotents" d'où mon rire...


Les programmes ont dû changé depuis mon temps.

quand card E' = n+1
tu as E' contient 1 élément de plus que E

soit a cet élément, on dit que

mais P(E') ca n'est pas car P(E') n'est pas P(E) auquel on rajoute a, mais c'est P(E) auxquel on rajoute toutes les parties de E' contenant a,

finalement P(E') c'est P(E) + les parties de E contenant a (on a noté )

bah c'est un peu hors programme mais bon

on la fait dans le cours sur le dénombrement pour pouvoir faire les démonstrations

Salut Redman, j'ai bein compris ta méthode qui me semble toutefois laborieuse. J'imagine mal notre professeur exiger ça. N'y a t'il pas une méthode plus simple en utilisant la récurrence?
On démontre que c'est vrai au rang 1 puis ensuite: on suppose que c'est vrai au rang n et donc pour n+1:
Card(E')=n+1 => Card(P(E'))=

oui, exactement comme je viens de le faire

ca n'est pas laborieux et je ne vois pas d'autre méthodes
E' contient E + a
on utilise le fait que P(E') contient P(E) et autre chose
cet autre chose n'est pas a, mais toutes les parties contenant a.
Donc tu prend une partie contenant et une bijection qui à une partie contenant a associe une partie ne contenant pas a.
Donc les parties contenant a sont en bijection avec celles ne contenant pas a, c'est a dire P(E)

tu as du voir que si 2 ensemble sont en bijection, alors ils ont le meme cardinal
donc les parties contenant a on pour cardinal

En résumé, le cardinal de P(E')= card (P(E)) + card (Parties contenant a)
                               = 2ⁿ + 2ⁿ
                               = 2ⁿ⁺¹

je ne vois pas ce qui est laborieux, c'est rigoureux et si tu trouve une autre methode, dis le moi ca m'interresse

si tu trouve une autre methode, dis le moi ca m'interresse


Je propose :

On sait que tout ensemble fini à n éléments (ie. card(E)=n) possède parties différentes ayant k éléments chacune.

Donc pour avoir le nombre total de parties de E, c'est à dire Card(P(E)), on regarde le nombre de parties de E à 0 éléments, puis à 1 éléments, puis à 2 éléments,..., puis à n éléments, et on comprend aisément que la somme de tout ça nous donne le nombre total de parties.

D'où :
=
               =
               = , d'après la formule du Binôme de Newton
               = 2ⁿ

Sauf erreur de ma part bien evidemment

super!!

Vrément désolé, mais petite erreur de ma part (polio temporaire des doigts ^^) dans mon message précédent, à l'avant dernière ligne il faut lire :

= et non pas comme je l'ai écrit à tort!