Niveau Maths sup

Ensemble fermé

Posté par Marxforito 13-11-19 à 00:13

Bonjour,

Je ne suis pas convaincu par une correction pour montrer que la boule unité $B=B(0,1)=\{x \in H: ||x||\leq 1\}$ dans un espace de Hilbert H

donc soit x_n une suite de B converge vers $l \in H$

Pour montrer que $l \in B$ notre a écrit directement que

comme $||x_n|| \leq 1$
$||x_n|| \leq 1 \, , \, \forall n \Rightarrow ||x||\leq 1$ ( je ne comprends pas comment il a conclu ça directement )

Merci de me répondre

Posté par re : Ensemble fermé 13-11-19 à 00:14

Je veux montrer au dessus que la boule unité est fermée

Posté par re : Ensemble fermé 13-11-19 à 00:20

Hello!

Si xn converge vers x alors |xn| converge vers |x|

En effet

| ||xn|| - ||x|| | <= ||xn-x|| par l'inegalite triangulaire inversée

Posté par re : Ensemble fermé 13-11-19 à 00:26

J'ai une idée:

On sait que :
$\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x \Leftrightarrow \forall \epsilon >0 , \exists N \in \mathbb{N} , \forall n\geq N ||x_n-x||\leq \epsilon$

$||x||\leq ||x-x_n||+||x_n||\leq 1 - \dfrac{1}{n} \leq 1$ avec $\epsilon = -\mathbb{1}{n}$

donc $x \in B$

Est ce que c'est juste ?

Posté par re : Ensemble fermé 13-11-19 à 01:02

Je crois que j'ai tord .. j'ai pris $\epsilon négatif$

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