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Ensemble non vide.

Posté par
matheux14 15-02-22 à 03:04

Bonjour,

On suppose que \sqrt{2} \in \Q. On veut aboutir à une contradiction.

Soit A = \{ n \in \N^* ~:~ n\sqrt{2} \in \N \}

1) Montrer que A est non vide.

2) Notons n_0 \in \N^* ; le minimum de A. Montrer que n_0(\sqrt{2} - 1) \in  \N^*

3) Montrer que n_0 (\sqrt{2}-1) \sqrt{2} \in \N. Conclure.

1) n est un entier n\sqrt{2} est un entier ?

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 15-02-22 à 07:33

Bonjour,

Si \alpha=\dfrac{p}{q} est un rationnel, avec p\in \Z et q\in \N^*, ne vois-tu pas un entier naturel qui multiplié par \alpha donne un entier ?

Posté par
matheux14re : Ensemble non vide. 15-02-22 à 09:26

Oui, c'est q

donc A est non vide.

2) n0 un entier non nul minimum de A,  donc n0 est le minimum de \N^* qui est 1.

n_0 (\dfrac{p}{q} - 1) = n_0 \dfrac{p-q}{q} = \dfrac{p-q}{q}

Pour q = 1 et p > 0 ; \dfrac{p-q}{q} \in \N

3) n_0 (\dfrac{p}{q} - 1)\dfrac{p}{q} =n_0 \dfrac{p²-pq}{q²}

Pour n0 = q = 1 on a p²-pq \in \N ; p \in \Z.

Posté par
matheux14re : Ensemble non vide. 15-02-22 à 09:27

Citation :
Oui, c'est q si p est positif.

donc A est non vide.

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 15-02-22 à 09:55

Non, n_0 n'a aucune raison d'être égal à 1. A n'est pas \N^*.

Posté par
matheux14re : Ensemble non vide. 15-02-22 à 10:40

Mais comment déterminer le minimum de A ?

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 15-02-22 à 11:06

Personne ne te demande de le déterminer. Il faut répondre aux questions posées, pas à celles qui ne sont pas posées;

Posté par
matheux14re : Ensemble non vide. 15-02-22 à 11:10

n_0 (\dfrac{p}{q} - 1) = n_0 \dfrac{p-q}{q}

Pour q = 1 et p > 0 ; n_0 \dfrac{p-q}{q} \in \N

Posté par
carpediemre : Ensemble non vide. 15-02-22 à 11:24

salut

je ne comprends pas ce que tu fais ...

soit q le minimum de A ...

donc il existe un entier p tel que q \sqrt 2 = p

alors q(\sqrt 2 - 1) = p - q

et il faut montrer que p - q est un entier positif !!

...

Posté par
matheux14re : Ensemble non vide. 15-02-22 à 11:32

q \sqrt 2 = p donc p est positif et supérieur à q le minimum de A.

Donc p - q > 0 et p - q \in \N

Posté par
carpediemre : Ensemble non vide. 15-02-22 à 11:37

pourquoi ?

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 15-02-22 à 12:47

Il vaut mieux garder les notations de l'énoncé. Le minimum de A, c'est n_0.
Par définition de A, on a n_0\sqrt2\in \N.
On te demande de démontrer que n_0(\sqrt2-1)=n_0\sqrt2-n_0\in \N^*, c.-à-d. qu'il est entier et strictement positif.

Posté par
matheux14re : Ensemble non vide. 15-02-22 à 14:03

n_0 , n_0 \sqrt{2} \in \N

n_0 > n_0 \\\\ n_0 \sqrt{2} > n_0 \Rightarrow n_0 \sqrt{2} - n_0 > 0 \Rightarrow n_0 \sqrt{2} - n_0 \in \N^*

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 15-02-22 à 14:21

Il semble que tu aies compris.
Mais fais plutôt des phrases que d'aligner des formules dont certaines (comme n_0>n_0) sont du n'importe quoi.

Posté par
carpediemre : Ensemble non vide. 15-02-22 à 14:29

GBZM : j'attendais ta réponse en premier ...

ne penses-tu pas  que le plus important et fondamental serait de commencer par écrire simplement : \sqrt 2 \ge 1  ?

car c'est d'elle que découle tout ...

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 15-02-22 à 14:38

matheux14 semble bien avoir compris que n_0\sqrt2>n_0.

Posté par
matheux14re : Ensemble non vide. 15-02-22 à 15:54

3) n_0 \in \N^*, n_0 (\sqrt{2} -1) \sqrt{2} = 2n_0 -n_0 \sqrt{2}

2 > \sqrt{2} \\\\ 2n_0 > n_0 \sqrt{2} \\\\ 2n_0 -n_0 \sqrt{2} > 0

Donc 2n_0 -n_0 \sqrt{2}  =n_0 (\sqrt{2} -1) \sqrt{2} \in \N

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 15-02-22 à 16:03

Ça manque de phrases.

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 15-02-22 à 16:05

Et on te demande de conclure.  Rappel : le but est d'arriver à une absurdité.

Posté par
matheux14re : Ensemble non vide. 15-02-22 à 16:13

matheux14 @ 15-02-2022 à 15:54

3) n_0 \in \N^*, n_0 (\sqrt{2} -1) \sqrt{2} = 2n_0 -n_0 \sqrt{2}

2 > \sqrt{2} \\\\ 2n_0 > n_0 \sqrt{2} \\\\ 2n_0 -n_0 \sqrt{2} > 0

Donc 2n_0 -n_0 \sqrt{2}  =n_0 (\sqrt{2} -1) \sqrt{2} \in \N car

n_0 \in \N^* \\\ 2 \in \N^* \Rightarrow 2 n_0 \in \N^* et n_0 \sqrt{2} \in \N d'après l'énoncé.

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 15-02-22 à 16:25

C'est toujours aussi pauvre en phrase, mais c'est un peu mieux. Et il manque toujours la conclusion : où est l'absurdité ?

Posté par
matheux14re : Ensemble non vide. 15-02-22 à 20:13

On a montré que si \sqrt{2} est rationnel alors n_0(\sqrt{2} - 1) \in  \N^* et n_0 (\sqrt{2}-1) \sqrt{2} \in \N

Donc   \dfrac{n_0(\sqrt{2} - 1)\sqrt{2} }{n_0 (\sqrt{2}-1)} \in \N puisque n_0 (\sqrt{2}-1) \sqrt{2} est un multiple de n_0 (\sqrt{2}-1)

Or \sqrt{2} \in \Q d'après 1) et absurde d'après les questions 2) et 3).

Conclusion : \sqrt{2} n'est pas rationnel.

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 15-02-22 à 21:34

Là, il y a des phrases. Mais maintenant, c'est dommage qu'elles disent n'importe quoi à partir de la deuxième.
Désolé si je ne suis jamais content.
Franchement, est-ce que ton argument te convainc toi-même, ou as-tu écrit ça au petit bonheur la chance ?

Posté par
matheux14re : Ensemble non vide. 15-02-22 à 22:03

Ah désolé

Posté par
matheux14re : Ensemble non vide. 15-02-22 à 22:54

matheux14 @ 15-02-2022 à 20:13

On a montré que si \sqrt{2} est rationnel alors n_0(\sqrt{2} - 1) \in  \N^* et n_0 (\sqrt{2}-1) \sqrt{2} \in \N \Rightarrow n_0 (\sqrt{2}-1) \in \N car \sqrt{2} \neq 0 absurde d'où la contradiction.

Conclusion : \sqrt{2} est irrationnel.

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 16-02-22 à 08:57

Non.
Toujours la même question : es-tu convaincu par ce que tu écris ou balances-tu quelque chose au hasard ?

Dernière indication : la contradiction à rechercher est avec le fait que n_0 est le plus petit élément de A.

Posté par
matheux14re : Ensemble non vide. 16-02-22 à 14:18

J'ai pas compris

Posté par
matheux14re : Ensemble non vide. 16-02-22 à 14:23

Le plus petit élément de A est il \sqrt 2 \notin \N

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 16-02-22 à 14:48

Ne sais-tu pas lire ?

matheux14 @ 15-02-2022 à 03:04

Notons n_0 \in \N^* ; le minimum de A.

Qu'est-ce que cette phrase veut dire, à ton avis ?

Posté par
carpediemre : Ensemble non vide. 16-02-22 à 18:12

il est dommage de ne pas finir les exercices que tu postes ...

d'autant plus quand c'est des exo de réflexions et de raisonnement ... ce qui t'aiderai beaucoup ...

je te proposes le cheminement suivant :

Soit A = \{ n \in \N^*  /  n\sqrt 2 \in \N \}

1) Montrer que A est non vide.

2) Notons q \in \N^*  le minimum de A et p l'entier associé : p = q \sqrt 2
      Montrer que  q(\sqrt{2} - 1) \sqrt 2 est un entier.

3) En déduire que (p - q) \sqrt{2} = 2q - p.

4) Conclure.

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 16-02-22 à 18:19

Je ne vois pas l'intérêt de changer les notations de l'énoncé.
n_0 est le plus petit élément de A.
Je répète que la contradiction vers laquelle l'énoncé conduit est avec le fait que n_0 est le plus petit élément de A.
Je rappelle où on en est : on a montré que n_0(\sqrt2-1)\sqrt2\in \N.

Posté par
carpediemre : Ensemble non vide. 16-02-22 à 18:35

simplement pour ne pas me trainer un indice ... qui me semble inutile ...

pour ce qui est de l'objectif : il suffit alors de comparer les entiers 0, p, q , p - q et et 2q - p ...

la contradiction vient alors de suite ...

Posté par
GBZMre : Ensemble non vide. 16-02-22 à 18:58

Ça me semble plus direct (et dans la ligne de l'énoncé) de comparer n_0(\sqrt2-1) et n_0.
Franchement, carpediem, je ne trouve pas que tes interventions ici aillent dans le bon sens.


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